28o MÉMOIRES Dï l'Académie Rovale 

 contiendront des différences d'un degré fupérieur, comme 

 étant incomparables avec ceux que l'on retient. Ainfi il ne 

 fiudra prendre dans la différence de l'équation propofée, que 

 les feuls termes qui contiendront des différences tJx, dy, d'un 

 degré égal au nombre des branches qui palferont par le point 



•donné; alors on tirera autant de valeurs de —^ , ou de — , 



dy dx 



qu'il y aura de branches auxquelles le point donné /ëra com- 

 mun : fur quoi l'on doit remarquer que, fi deux branches 

 fè touchent, les deux tangentes en ce point, quoique con- 

 fondues en une, donneront deux foûtangentes qui feront à 

 la vérité égales, mais qui lëront les racines égales d'une équa- 

 tion du fécond degré. 



Il faut maintenant faire voir quels font les moyens géné- 

 raux d'avoir des équations différentielles dont les termes foient 

 affedés de dx, dy élevés à des degrés convenables, foit par 

 eux , foit par leurs produits ; ces moyens font au nombre de 

 deux , que je vais expliquer dans les n."* fuivans. 



X. 



Le premier moyen pour avoir des équations différentielles 

 de tous les degrés qu'une équation propofée peut produire, 

 efl fondé fur le principe général de la différentiation. Ce 

 principe général confifte à fubltituer, dans une équation pro- 

 pofée dont .V & ^ font les variables, .v — i- dx à la place 

 de .V, &^ -\- dy à la place de/, pour avoir une équation 

 nouvelle, dont on retranche la première : ce qui donne une 

 différence égale à zéro , dans laquelle on fupprime tous les 

 termes incomparables aux plus grands. 



Par exemple , fi l'équation propofée eft 



A-* ayx' ->(- hy'^-z^. o, 



En fubfliluant x -h dx pour a-, &/ -f- dy pour/, on a 

 une équation nouvelle 



*♦ -t- 4 *' «^ * -+- É *' </ ■»' -4- + *</*' -H (/*<• 

 ~ ax'jt — 1 axy dx — a y d x' — a dx' dy . __ _ 



— axx dy — î axdxdy 



E» 



