284 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



L'équation diffcrentielle du piemier degré, qu'on a tirée 

 de l'équaiion piopofée , ayant fourni une valeur indéter- 

 minée — pour le rapport --— , c'elt une marque que ce 



rapport a plufieurs valeurs ; & l'équation différentielle du 

 premier degré n'en pouvant point faire découvrir le nombre, 

 parce que de fa nature elle n'en peut donner qu'une , on cher- 

 chera une équation différentielle jdu fécond degré , pour dé- 

 couvrir fi — — a deux valeurs. 



Comme l'équation différentielle du premier degré , qu'on 

 a tirée, efl une véritable équation, fa différentielle fera encore 

 une équation , & l'on aura 



il 1 *' </*' — 2 ay dx' — 1 axd* dy -\- Chy dy' -i- j^.x'^d Jx J 



— 1 axdxdy — 1 axyJdx f 



\ ' O 

 — ax' ddy / 



•+- 3 *y'''(y ) 



Mais dans cette nouvelle équation différentielle, les diffé- 

 rences f/Jx, ddy ont & doivent avoir les mêmes coëfficiens 

 qu'avoient dx & dy dans la première différentielle; car les 

 termes qui renferment ces fécondes différences , viennent 

 de la première équation différentielle , dans laquelle on a 

 fmiplement changé dx en ddx, dy en ddy. Or ces coëffi- 

 ciens ayant été trouves nuls dans la première différentielle , 

 ils feront auffi nuls dans la féconde équation différentielle; 

 & cette équation fe réduira nécefîairement à l'équaiion différ 

 renlielle du fécond degré 



!l i y* dx'' — 7. aydx'' — /^axdxdy -f- 6bydy'' r=r o. 



Si l'on fait dans celte nouvelle équation x z=. o , & par 

 conféquent auffi y = o, pour chercher deux valeurs du rap- 

 port —j- dans le cas propofe de x = o , on trouvera que 

 toiK les cocfficiens de dx*, dy'', dxdy feront nnls , & 

 donneront -— = — : ce qui prouve que -—^ a plus de 



