6<S Histoire DE l'Acade'mie Royale 

 répondre aux fubftitutions qu'on aura faites de ces i o. nom- 

 bres , & il ne répondra point aux fubftitutions qu'on feroit 

 de tous les autres nombres pofTibles de la fuite naturelle. 



Si je fubftituois donc fuccelTivement à la place de l'In- 

 connue tous les nombres naturels jufqu'à ce que j'en eufie 

 lo. aufquels répondît l'homogène de comparaifon , j'aurois 

 mon Equation parfaitement réfolue : & il eft clair que cette 

 manière d'opérer s'étendroit aux Equations d'un degré quel- 

 conque. Mais il eft clair auffi que ce feroit un long travail, 

 & d'autant plus long non feulement que le degré feroit plus 

 élevé , mais encore que dans des degrés peu élevés les co- 

 ëfficiens de l'Inconnue & de fes puiflances feroient plus 

 grands , & les deux différens lignes plus mêlés. Mais ce qui 

 eft encore pis , ce feroit un tâtonnement perpétuel, indigne 

 de la fcience Alathématique. Cependant cette manière , qui 

 ne mérite pas le nom de méthode , feroit fort naturelle: & 

 c eft en lui confervant ce qu'elle a de naturel , & en la ren- 

 dant fcientifique & fort courte, que M. de Lagni en a fait 

 le fond de fa nouvelle Théorie. 



Une Equation quelconque étant donnée , il laifle à part 

 i homogène de comparaifon, comme s'il n'étoit pas à con- 

 Hdérer, & ilfubftitueà l'Inconnue , les nombres naturels 

 l'un après l'autre i ce qui lui donne autant d'homogènes de 

 comparaifon qu'il fait de fubftitutions , & lui en donneroit 

 par confèquent à l'infini. Or il a découvert & il démontre 

 que la Série de ces homogènes eft une Progreffion arith- 

 métique du même degré dont étoit l'Equation. 



Il attache une nouvelle idée au mot de Progrejfwn arith- 

 métique. On n'entend par-là qu'une ProgreflTion dont la dif- 

 férence eft conftante , mais il entend toute Progreffion dont 

 la différence foit lere^ foit 2 Je , foit jeme ^ &c. eft conftante. 

 Dans la Suite naturelle la différence i"e i. eft conftante, 

 mais dans la Suite des Quarrès naturels 1,4,5), &c, les dif- 

 férences leies font 3 , y &c, & la différence x''- 2. eft con- 

 flante. De même dans la Suite des Cubes naturels 1,8, 27, 

 «î^ &c, les différences !"« font 7> i^^ 37 &c j les 2<*« 



