72 Histoire DE l'Acade'mie Royale 

 poui établir leur Série , ou ceux qui viennent enfuite peu- 

 vent être tels que les uns foient pofitifs , les autres négatifs, 

 ou tous négatifs , ou qu'enfin ils changent du pofitif au né- 

 gatif, & du négatif au pofitif. Il fe peut même que des nom- 

 bres tous pofitifs aient des différences négatives dans quel- 

 que ordre ; parce qu'en prenant toujours des différences de 

 différences 5 on aura été obligé de fouftraire un plus grand 

 nombre d'un plus petit. Ainfi ces 4. nombres 24.5 ,48(5', 

 714, 9 24 qui appartiennent à une progreflîon arithmétique 

 du j':'"^ degré ont leurs différences 2 J« négatives, & la 5 ™e 

 qui eft la confiante négative auffi. C'eft 6. affeïté du figne 

 moins. Et comme les Séries des homogènes fe continuent 

 par le moyen des différences , elles doivent faire entrer leurs 

 fignes négatifs dans' ces Séries. 



Quand il ne fe trouve par les fubftitutions faites à la place 

 des Inconnues, que des homogènes négatifs , toutes les raci- 

 nes font imaginaires ; car par la préparation préliminaire que 

 la méthode exige, l'homogène donné étant toujours pofitif, 

 l'Equation eft abfolument impoffible , ou , ce qui eft le mê- 

 me , toutes fes racines font imaginaires , dès qu'on voit que 

 cette Equation ne peut avoir que des homogènes négatifs. 



S'il vient des homogènes , les uns pofitifs , les autres né- 

 gatifs , 6c qu'aucun ne foit le donné , on voit quel eft celui 

 des pofitifs qui approche le plus de ce donné , & par-là on 

 fait ce qu'il faudroit ajouter à ce donné , ou en retranchée 

 pour rendre l'Equation réelle , au lieu qu'elle étoit abfo- 

 lument imaginaire. 



Si l'homogène donné fe trouve & parmi les pofitifs & 

 parmi les négatifs , il y a autant de racines de l'un & de l'au- 

 tre genre qu'il fe trouve de fois dans l'un & l'autre genre. Ici 

 les homogènes négatifs ne donnent pas des racines imagi- 

 naires^ parce que l'Equation n'eft indifpenfablement obligée 

 qu'à avoir un homogène pofitif, ôc qu'elle n'eft pas imagi- 

 naire pour en avoir de négatif. 



Si l'homogène donné eft parmi les pofitifs un certain nom- 

 bre de fois moindre que le nombre des racines ou du degré 



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