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Porigine de cette Courbe. Voici & la fource & le dé-; 

 Boùement de la difficu-lté.- 



La Courbe générale de M.BernouIIi renferme dans fon 

 équation deux grandeurs Confiantes indéterminées , conC' 

 tantes en ce qu'elles doivent toujours être les mêmes , ou 

 avoir le même rapport dans une certaine longueur don- 

 née pour les Courbes ,indéterminées en ce que cette lon^ 

 gueur donnée étant différente , leur. rapport changera.C'eft 

 ainfi que les deux axes de l'ElIipfe ont un rapport con(« 

 tant dans toutes les Ellipfes d'une efpece particulière, 65 

 indéterminée pour l'Ellipfe en gênerai. Si là longueur dé- 

 terminée pour toutes Ifes Courbes ifoperimetres entre lef-* 

 quelles on cherchera celle de la- plus vite defcente , eft 

 telle que les deux confiantes indéterminées foieiit égales^ 

 la Courbe de la plus vite defcente efi géométrique , & pas 

 eonféquent il eft ekir qu'avec la longueur donnée il étoit 

 impoffible défaire une Gyeloïde.Enfuite quelque feit le 

 rapport fini que la longueur donnée falTe naître entre les 

 deux confiantes indéterminées, la Courbe de la plus vite 

 defcente eft mechanique j mais différente de laCycIoïde,- 

 de forte qu'aucune Gycloïde n'a pu encore être faite avec 

 }e nombre infini des différens fils,ou avec toutes les diffé- 

 rentes longueurs qui ont pu être données. Si enfin la lon- 

 gueur eft telle que l'une ou l'autre des deux confiantes 

 indéterminées foit nulle y l'autre fubfifiant, ou que leur- 

 rapport foit infini, dans l'un de ces-deux cas la Cycloïde- 

 eft entre toutes les ifoperimetres poflîbles la Courbe de la- 

 plus vite defcente , & dans l'autre tout fe détruit j & l'équa-^ 

 tion eft annéantie. Il efi très-remarquable qu'on puiffe dé- 

 terminer une infinité de longueurs telles qu'aucune ne 

 pourra êtreun arc de Cycloïde.- 



Cela préfente encore une apparence de difficulté , car il ' 

 y a certainement des Cycioïdes de toutes les longueurs 

 polfibles. Mais c'efi qu'il faut que les Courbes dont il 

 s'agit & dont; les longueurs font déterminées foient com- 

 prifes entre les deux points donnés de l'origine & de la- 



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