iS6 Mémoires de l'Académie Royale 



PROBLEME 



De la plus vite defcente refolu cCune manière direâe ô'^ 

 extraordinaire. 



Solution Analytique, 



Par le point fuperieur/^ d'où le corps grave commence à 

 FiG.vi. tomber à l'autre jB , foit Ihorifontale v^L coupée en quel- 

 que point A'^par une droite quelconque /A'Clous tel angle 

 INLqu'on voudra.D'un point quelconque K pris de même 

 à volonté fut la partie A"/ de la droite INC, foit une autre 

 droite Knc qui fafle avec elle l'angle CKc infiniment aigu , 

 de manière que les petits arcs Ce , A/j?7,décrits du centre K, 

 puiffent être pris pour de petites lignes droites.Tout ce que 

 je vas faire ici > ce fera de chercher entre une infinité de ces 

 petits arcs concentriques quel eft celui que le corps grave 

 tombé deyl, peut parcourir dans le petit tems le plus court. 

 Pourcela, après avoir appelle NK , a : MN, x; Sx. fait 

 la verticale AID ; foit i . /« : : MN'( x ) . MD = mx. Et 

 i.« :: C K. Ce : : MK {x-+-a). AI>n = n x -\- n a. Avant 

 que d'aller plus loin il eft à remarquer qu'il n'y a par tout 

 là que .V de variable ; & que m, n , font deux nombres 

 dont le premier eft fini , ôc le fécond infiniment petit. 

 Cela pofe , 1 on aura = — =^ pour le petit temps 



par A/w, lequel doit être iciun;?/«T petit, qui divifépac 

 la fra£tion confiante ~ , & enfuitc differentié , doit don- 

 ner en confequence '~J'^ xdx = o , d'où refulte x =^, 

 Ce qui fait voir que la nature de la courbe A MB de la 

 plus vite defcente , eft d'avoir en quelque point M que 

 ce foit , le rayon M K de fa curvité ou de fon cercle of- 

 culateur , coupé en deux parties égales par fon axe AL: 

 propriété qu'on fçait d'ailleurs depuis long-temps ne con- 

 venir qu'à la feule cycloïde. Mais quand cela ne feroit 



pas 



