56 J. Marrywowski. — Des combinaisons 
% Pareillement, pour quatre lettres a, b, c et d, on aura 
art put? 
Ce a (a—b)(a—c)(a—d) = (b—c)(b—d)(b—a; “ 
c°H3 dn+5 
(c—a)(c—b)(c—d) 1 (d— a\d—b)(d—c) À 
Ainsi des autres sommes. 
Cette induction met sur la voie de la proposition énoncée. 
Il reste à prouver que si cette proposition est vraie pour une, 
deux, trois, etc. r lettres, elle est aussi vraie pour r+Æ14 let- 
tres, et par suite pour un nombre quelconque de lettres. 
Posons d’abord quelques principes. 
4. En disant qu’une expression de r lettres a, b, c, d, … 
est symétrique, lorsqu'elle ne change pas par la permutation, 
les unes dans les autres, de toutes les lettres, qui y sont em- 
ployées ; on énonce à la rigueur les » conditions, que cette ex- 
pression doit remplir, pour être symétrique. ï 
Ces r conditions peuvent être énoncées, comme ii suit : 
En écrivant Îles r lettres a, b, c, d,... dans un ordre 
cireulaire, de manière que chacune d'elles puisse être consi- 
dérée comme initiale de toutes les autres, qui la suivent ; 
toute expression symétrique de r lettres peut être répartie en r 
éléments, tels que si dans l’une d’eux, on échange chaque lettre 
en celle qui la suit immédiatement dans l’ordre circulaire, cet 
élément se change en un autre; ce dernier, en suivant la 
même marche, produit un troisième élément; et ainsi des 
autres. 
Corollaire. Si, dans une expression symétrique de r lettres, 
on trouve n'importe de quelle manière, les r—1 éléments, qui 
remplissent déjà les r—1 conditions de symétrie, le reste de 
cette expression nest autre chose que le r° élément, plus une 
fonction symétrique de toutes les lettres ; à moins que cette 
dernière ne soit nulle d'elle-même. 
5. cela posé, soit 
| R— 0, dat. 
un po/ynome composé de r lettres a, , & , 43 ,...a. Désignons 
par 7;(@i), 7r(@2) , T;(a3),... les produits des différences de 
chaque lettre à toutes celles qui la suivent dañs un ordre cir- 
eulaire, de manière qu'on ait 
