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même troisième deux angles correspondants inégaux entre eux, 
ces deux droiles finissent foujours par Se rencontrer, d’un côlé 
vu de l’autre étant suffisamment prolongées. 
Remarque. — Nous donnons, de chacun des deux théorèmes 
fondamentaux , deux démonstrations également très- simples , 
fort claires et complètement exactes. Le premier théorème sert 
à démontrer toutes les propositions relatives au parallélisme de 
deux droites situées dans un même plan ; tandis que le second 
théorème, postulatum d’Euclide, ou plutôt le corollaire ci-dessus 
démontre toutes les propriétés des parallèles. Enfin, pour ces 
deux théorèmes , la thécrie des parallèles, Yune des plus 
importantes de la Géométrie, devient rigoureuse et la plus 
simple possible, 
Considérations sur le Postulatum d’ÆEuclide. 
Dans une brochure publiée en 4856, M. Lamarie démontre le 
théorème postulatum d’Euclide, mais ramené aux postulats de Lacroix 
et de M. Gergonne. Dans cette brochure , on lit, p. 6 et 7 : « La 
démonstration que je viens d'analyser n’est pas rapide et brève 
comme tant d’autres : elle est exacte... La condition essentielle 
est l’exactitude. C’est en cela que pèchent les démonstrations 
antérieures. Leur simplicité ne remédie point à ce vice capital. 
En vain voudrait-on les justifier , sous prétexte qu’elles con- 
duisent au but sans retard et sans peine. Si simples qu’elles 
soient, le postulatum d'Euclide, admis sans démonstration, est 
plus simple encore. Mieux vaut d’ailleurs , se tenir à ce pos- 
tulatum que de prétendre y suppléer par des semblants de 
démonstration , d'autant plus dangereux qu'ils se présentent avec 
plus de simplicité. » 
Les démonstrations plus haut des deux théorèmes fondamen- 
taux (dont le second est celui d’Euclide) sont très-simples et 
complètement exactes , comme reposant sur des notions claires 
et bien établies. Ce ne sont donc pas des semblants de dé- 
monstration , car aucune démonstration géométrique ne produit 
une certitude plus complète. En quoi, d’ailleurs , leur simplicité 
serait-elle dangereuse ? 
Si la démonstration obscure et fort compliquée de M. Lamarle 
était la seule exacte, il faudrait bien admettre le postulatum 
