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en 1815. C'est au fond la seconde démonstration donnée plus 
haut du théorème IT; et M. Terquem la regarde comme la plus 
simple et la plus exacte. 
Dans les éditions successives du Traité de Géométrie, dont 
la première en 1850, Jai donné une autre démonstration, 
non moins simple ni moins rigoureuse que la précédente, mais 
en y rendant plus explicite l'emploi des propriétés de l'angle. 
C’est à quelques développements près, la première démonstration 
du théorème IE plus haut. 
La même démonstration , très-peu modifiée, se trouve aussi 
dans les traités de géométrie de MM. Wezel et Catalan , publiés 
depuis 1835 , ainsi que dans la 5°° édition du Cours de Géométrie 
de M. Bobillier, Châlons, 1859. Je n’ai pas connu les deux 
premières éditions. 
Quant au premier théorème fondamental ci-dessus, je l'ai 
énoncé et démontré en 1855, 2°° édit. de la Géométrie, pour 
simplifier la théorie des parallèles. 
Enfin, Legendre dans la Note II de ses Éléments de Géomé- 
trie, 12*° édition , démontre complètement le postulatum d’Euelide, 
ramené à celui de Lacroix, 
Toutes ces démonstrations sont fondées sur la véritable dé- 
finition , celle qui fait le mieux connaitre l’angle plan. Cette 
définition, énoncéé plus haut, est simple, claire, précise ‘et 
évidente comme un axiôme; par suite elle est la base exacte 
de l’enseignement le plus simple et le plus clair de la Géo- 
métrie. 
M. Lamarle nie que le théorème d'Euclide soit démontré par 
le procédé que j'ai employé plus haut; et voici comment il le 
prouve ( p. 541 des Annales de l'enseignement public, 1857 ) : 
« Le procédé de M. Noël n'est pas nouveau, mais il est simple, 
trop simple même et surtout trop fécond. Pour s’assurer de 
sa fécondité trop grande , il suffit de l'appliquer littéralement 
au cas de deux droites qui en coupent une troisième sous des 
angles égaux. Il conduit, comme tout à l'heure, à la même 
conséquence et prouve ainsi que les parallèles se rencontrent. 
C'est aller trop loin. » 
M. Lamarle ne donnant pas d'autre développement à l’objection 
précédente, on ignore comment il applique Zttéralement le 
procédé. Mais cette application ne saurait prouver qu’il y a ren- 
contre. — Si en effet les deux droites se coupaient, l’angle 
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