en (méometrie. 8) 
On voit qu'un nombre infini peut êlre un mullip le quelconque 
fini d'un autre nombre infini ou en être une fraction quelconque 
assignée. Par exemple, il est clair que 50 = les © de 5. 
IE. — Un infiniment petit est la grandeur moindre que toute gran- 
deur de même nature , donnée où assignée , si petite que soit cette 
dernière , sans être nulle ; car le néant n’est pas une grandeur. 
Un infiniment petit est donc une fraction dont le numérateur, 
nombre , ligne ou angle, est donné et dont le dénominateur 
est un nombre entier infini. 
Cette fraction, en effet, toujours inconnue et jamais nulle, 
est évidemment moindre que toute fraction assignée, ayant le 
même numérateur, et dont le dénominateur est un nombre 
donné ou fini, si grand qu'il soit. — On voit d’ailleurs qu'en 
prenant le dénominateur donné de plus en plus grand, la fraction 
assignée devient de plus en plus petite et approche de plus en 
plus de la fraction infiniment petite proposée. Donc cette dernière 
fraction existe nécessairement, car on ne saurait approcher de 
ce qui n'existe pas. 
Si donc on concoit la droite donnée AB divisée en un nombre 
infini de parties égales, chaque partie est infiniment petite, sans 
être nulle, et de plus elle est absolument invisible, Car elle 
est beaucoup plus petite que la billionième partie du mètre, 
par exemple ; et déjà cette dernière partie échappe à l'œil armé 
du plus fort instrument d'optique. 
Observons encore que toutes les fractions possibles, plus grandes 
que l'unité, depuis 1 exelu jusqu’à 2 inclus, croissent successive- 
ment d'une même différence d , telle qu'on a dXæ=1 et 
d=—©. Cette différence est donc infiniment petite. 
De là résulte que tous les termes de ces fractions sont infinis. 
Mais l’une d'elles se réduit à ?; il faut donc que ses deux 
termes aient un facteur infini commun, contenu 5 fois et 2 
fois au numérateur et au dénominateur. 
III, — Maintenant , pour que la démonstration plus haut du 
théorème d’Euclide soit complètement générale, il faut qu'elle 
s’applique encore lorsque l'angle externe surpasse infiniment peu 
l'angle interne correspondant. Mais alors les deux côtés non com- 
muns se rencontrent à l'infini. — D'abord ils se rencontrent 
nécessairement, Ensuite, il est facile de voir , par une parallèle 
menée du sommet de l'angle interne, que les deux côtés 
non communs font entre eux un angle infiniment petit égal 
