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placé par des théorèmes sur les variables auxiliaires ; tandis 
que dans ceux de Legendre, de longues et obscures réductions 
à l’absurde ne parviennent même pas à cacher entièrement les 
infinis qu'on a voulu éviter, lesquels se trouvent au fond des 
raisonnements comme éléments logiques auxiliaires et qui sont 
indispensables pour rendre ces raisonnements intelligibles. 
IX. — L'existence des nombres infinis et infiniment petits 
est bien établie; les définitions de ces deux genres de nombre, 
toujours inconnus , sont claires, précises et n’ont rien de plus 
abstrait , de plus difficile à concevoir , que les notions des 
lignes et des surfaces. La méthode infinitésimale est donc com- 
plètement élémentaire ; et aucune autre méthode ne peut comm 
elle rendre clair, simple et rigoureusement exact Ve 
ment des Éléments de Géométrie, ainsi qu’il est prouvé dans 
ce qui précède. 
On voit que l'emploi explicite des infinis dans les Mathé- 
matiques élémentaires est loin d'être « un grave et dangereux 
abus » et d'avoir fait déjà beaucoup de mal à l’enseignement ; 
on l'a dit. C’est en effet le contraire qui est vrai; cet enseigne- 
ment n'étant simple, clair et rigoureux que par les infinis, 
employés explicitement pour passer de l'étude des figures rec- 
tilignes et des polyèdres à l'étude des figures curvilignes et des 
corps ronds. 
Il n’est dore pas seulement très-utile, mais il est absolument 
nécessaire d'employer franchement et exclusivement la méthode 
infinitésimale dans l’enseignement de la Géométrie élémentaire, 
pour passer #mmédiatement du connu à l'inconnu et donner en 
même temps aux déductions toute la clarté, la simplicité et 
la complète exactitude dont elles sont susceptibles. Car la rigueur 
logique n'est certainement pas dans les non-sens, les pétitions 
de principe, les longs et obscurs détours employés pour déguiser 
les infinis. 
Enfin , l'analyse infinitésimale se présente inévitablement pour 
simplifier et rendre possible l'étude logique complète des Mathé- 
matiques pures et appliquées. Son emploi, dans l’enseignement 
élémentaire, « donne à la fois aux élèves des connaissances et 
la méthode pour en acquérir de nouvelles. En continuant de 
s'instruire , ils ne font que suivre la route qui leur a été tracée 
et dans laquelle ils ont contracté l'habitude de marcher ; de 
sorte que la carrière des sciences leur devient beaucoup moins 
