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les pieds N. P, O tombent nécessairement sur les bissectrices de 
ces faces. Or, je dis que le trièdre MNPO, ainsi construit , est 
supplémentaire du trièdre SABC. 
D'abord le plan PMN passe par les perpendiculaires MN, MP 
aux plans ASC, ASB ; il est donc perpendiculaire à ces deux 
plans et à leur intersection SA, qu'il rencontre au point I. De 
sorte que angle NIP mesure le dièdre SA. Mais dans le quadrila- 
ière MNIP , les angles N et P sont droits; done les deux angles 
restants NMP et NIP sont supplémentaires ; c’est-à-dire que 
chaque face du trièdre M, telle que NMP, est le supplément de 
l'angle NIP qui mesure le dièdre opposé SA du trièdre S. 
Réciproquement, il est clair que l’angle IPH mesure le dièdre 
MP. Mais dans le quadrilatère SIPH, les angles I et H. sont 
droits ; done les deux angles restants ASB et IPH sont supplémen- 
{aires ; c’est-à-dire que chaque face ASB du trièdre S est le 
supplément de l'angle IPH qui mesure le dièdre opposé MP du 
trièdre M. Donc enfin, les deux angles trièdres S et M, sont sup- 
plémentaires. 
Remarque. — On a donné différentes solutions de ce problème : 
toutes supposent que dans l'intérieur du trièdre S, il existe un 
point M, d'où menant des perpendiculaires aux trois faces , les 
pieds tombent sur ces faces elles-mêmes, et de plus que les per- 
pendiculaires menées de chaque pied sur les côtés de la face 
dont il est un point, rencontrent ces côtés et non leurs prolonge- 
ments, lorsque cette face est un angle obtus. Or, plusieurs Pro- 
fesseurs pensent que ces deux propositions doivent être démontrées; 
et c'est ce qu'on vient de faire dans la précédente solution , laquelle 
est ainsi complète. 
CorozLaIRE. — flrésulte de la propriété des trièdres supplé- 
mentaires que : dans tout trièdre , la somme des argles plans 
mesurant Îles trois dièdres est toujours plus grande que deux et 
plus petite que six angles plans droits. 
TuéorÈèmE. — Deux angles trièdres sont égaux ou symétriques 
dorsqu’ils ont les trois dièdres égaux chacun à chacun. 
La construction des deux trièdres supplémentaires démontre 
aisément ce quatrième et dernier cas de l'égalité ou de la symétrie 
des deux angles trièdres proposés. Voyez la Géométrie 4° édition. 
PROPRIÉTÉS DES TRIÈDRES. — Les propriétés des angles triples 
