128 J.-N. Noëz. — Méthode infinilésimale 
ProBLème. - Calculer le volume T de toute tranche sphérique, 
connaîssant sa hauteur h sur le diamètre 2r, celui-ciétant perpendi- 
culaire aux deux bases parallèles dont a et b sont les rayons donnés. 
A cet effet, b étant a, soit v la distance de b à l'extrémité 
voisine du diamètre ?r, ce qui donne b? = v(2r — v). Concevons 
la hauteur À divisée en un nombre infini n de parties égales à x, 
d’où k = nt ; puis imaginons par les points de division des petits 
cercles parallèles aux deux bases de T, les centres étant les points 
de division de k : il est clair que les plans de ces petits cercles di- 
visent T en n tranches parallèles. 
Soit £ la m ième de ces tranches à partir de b : à cause de 
l'épaisseur x infiniment petite, on peut, sans aucune erreur finale, 
regarder cette tranche comme un cylindre droit circulaire de 
hauteur æ et dont la base, ayant y pour rayon, intercepte sur le 
diamètre 2r le segment v + mx. On a done successivement 
t— Toy? ct y — (0 + mx) (2r — 0 — mx) ; 
d'où y = b? + 2 (r— v) mx —m? x? et 
t— r[b?x +2 (r— v) mx — m'a]. 
Prenant successivement m — 1, 2,5, 4,..., n, puis ajoutant 
entre elles les n égalités résultantes , en observant que T est la 
somme des 7 tranches partielles et que # infini donne Sn = inr, 
Sn? = ;n°, on trouve, à cause de À = nx, 
T=zh[b+ (r—v) h — EI (11) 
Telle est une première expression de T. Pour calculer la 
seconde, on a successivement 
= (vHh)(2r—v—h) = +2(r—v)h—k# ; 
d'où D + (r—®) h — | (a? + b?) + = het 
T— ICE b:) + xls. … (12) 
Telle est la seconde expression cherchée de la tranche sphérique ; 
et cette secondeexpression est la seule démontrée ordinairement. 
CorozLaIRE. — Si la tranche T devient le segment sphérique S, 
