148  A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 
95. Les anciens, on je voit par ces quelques mots, ne regardaient 
pas la méthode d’exhaustion comme énfatllible , etne voyaient 
en elle qu’un moyen de révélation de l'existence des propriétés. 
D'ailleurs ils n'avaient aucune méthode rationnelle et générale 
pour la détermination des limites. 
4. On a dit souvent que ies anciens avaient regardé les lignes 
courbes comme des polygones d’une infinité de côtés ; cette ivée, 
qui ne paraît jamais dans leurs écrits, serait du reste en flagrante 
opposition avec l'esprit de la méthode d’exhaustion. 
Les anciens n’admettaient, au contraire, que les démonstrations 
d'une rigueur absolue ; ils s’attachaient par-dessus tout à conserver 
à la science son entière évidence et exactitude et prenaient tou- 
jours à tâche d'éviter de telles suppositions comme énadmissibles 
en géométrie. 
On a souvent fait à la méthode d’exhaustion le reproche d'être 
embarrassée, et difficile à concevoir. Il est vrai qu’elle nécessite 
souvent des préliminaires assez longs, indispensables pour la re- 
cherche des limites ;. mais ces préliminaires sont toujours des 
propriétés importantes, souvent remarquables par leur originalité. 
Du reste, ces longueurs, ou espèces de prolégomènes, sont assez 
naturels, puisque la méthode d’Archimède n’est qu’une méthode 
particulière révélative. Un excellent géomètre (Peyrard), qui a 
fait la traduction des œuvres complètes d’Archimède, s'exprime 
ainsi dans la préface de cette traduction : 
Archimède n’est véritablement difficile que pour ceux à qué 
les méthodes des anciens ne sont pas familières ; il est clair et 
facile pour ceux qui les ont étudiées. 
Par des exemples traités à Ia manière d’Archimède, faisons 
comprendre l'esprit de la méthode d'Exhaustion. 
5. TuéoRÈME. Les surfaces des cercles sont entr'elles comme 
les carrés de leurs rayons. 
Inscrivons dans les deux circonférences des polygones sembla- 
bles ; leurs surfaces auront pour rapport le carré de celui des 
rayons ; subdivisant, suivant la même loi, les arcs qui sousten- 
dent les côtés de ces polygones , on construira par là deux nou- 
veaux polygones semblables dont les surfaces ont encore pour 
rapport le carré de celui des rayons. 
Or, à l'aide de ces inscriptions consécutives , les périmètres ainsi 
obtenus s’approchent indéfiniment et d’aussi près que l’on veut 
de leurs circonférences respectives ; il est done à prévoir que le 
