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employées pour l'établissement el le développement, elc. 199 
Soit f (x) une fonction de la variable x ; donnant à x l’accrois- 
sement # quelconque elle devient 
f@&+i 
peut se développer en une série procédant suivant les puissances 
croissantes entières et positives de £, et dont les coefficients des 
diverses puissances de l'accroissement sont des fonctions de x, 
ayant avec la fonction primitive une loi de déduction facile à 
distinguer et à établir, 
Ces coeflicients sont les dérivées successives de f (x), et leur 
ordre est égal au degré de la puissance de : à laquelle ils appar- 
tiennent dans f (x + à). 
Lagrange emploie ainsi dans la démonstration du théorème 
fondamental de sa nouvelle théorie, la méthode des coefficients à 
déterminer : il apporte toutefois et avec raison un soin minutieux à 
établir à priori la possibilité d’un tel développement, dont la 
forme cesse dés lors d’être! une hypothèse. Il démontre pour cela 
que 
1° La fonction algébrique , EN LAISSANT À % TOUTE SA GÉNÉRALITÉ , 
ne peut renfermer de puissances FRACTIONNAIRES de 1; et voici à cet 
égard et en peu de mots son raisonnement : 
Supposons que f (x + i) puisse contenir un terme de la forme 
m D 
u-i2 , OU, w im 
IL est incontestable que les radicaux qui sont dans f (x), se 
présentent tous avec les mêmes indices dans f(x + i) et que par 
suite f (x + ti) doivent avoir le même nombre n de valeurs 
différentes ; mais / (x + :) devant, pour à — 0, se réduire à fx) 
qui est ainsi Île premier terme du développement def (x + à), 
chaque valeur de f (x) pourrait se combiner avec chacune des n 
valeurs de 
n 
Vin 
Il s'en suivrait que f (x) et f (x + t) n'auraient plus le même 
nombre de valeurs différentes. 
2° f (x+-1) ne peut contenir de puissances négatives de à. 
En effet si le terme 
r 
gm 
pouvait exister dans ce développement, f(x+i) deviendrait 
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