252 A.-J.-N. Paoue. — Examen des diverses méthodes 
peut écrire, en représentant par 0 une fraction qui tend vers À, 
à mesure que x se rapproche de x, , 
fr, — fa, 
7 ci fr, + os 
Le second membre converge vers f’x,, donc x croissant con- 
tinüment de x, à x, l'accrofssement h = x, X,, est toujours 
ainsi plus grand que x, — x,, et le rapport des accroissements de 
la fonction et de la variable converge vers f'x, = Fx ; et, puisqu'il 
y a convergence , les valeurs de x correspondantes ne peu- 
vent être des valeurs isolées, pour lesquelles la convergence 
n'a pas lieu. 
115. De ce que pour les valeurs de x autres que les valeurs 
isolées les rapports ascendant et descendant ont même limite, 
et de ce que cette égalité de limite ne peut appartenir à aucune des 
valeurs isolées de x, l’on déduit : 
Tuéorème XII. Les limites fx et Fx diffèrent lorsque x est une 
valeur singulière ; ily a donc changement brusque dans le passage 
de l’une à l’autre. 
116. Tuéorème XIII. Réciproquement s’il y achangement brusque 
de l'x a Fx, la valeur déterminé: de la variable produisant ce 
changement, est une valeur isolée. 
Démonstration. En effet, s’il n'eh était pas ainsi , la valeur de x 
correspondante serait comprise entre deux valeurs isolées consé- 
cutives, et comme telle donnerait 
fs Fax 
ce qui est contraire à l'énoncé, 
On peut donc dire encore sous une autre forme : 
Toute valeur de x pour laquelle les limites des rapports ascen- 
dant et descendant sont inégales, est une VALEUR ISOLÉE de la va- 
riable, dont x ne peut s'approcher indéfiniment sans que la li- 
mite h’ de h ne converge vers 1ÉRo. 
117. On déduit comme remarque faite sur la formule (n° 41%), 
fe, — fx, = (dir, Lyc, — 7) (Fr, FÉ) 
la propriété suivante : 
