sur les vrais principes de l’Algébre. 161 
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Effectuant la somme de la progression factorielle, on obtient 
À —r7+: 
DD ENRQUEEEE 
Le second membre de cette inégalité convergeant vers la limite 
finie , Si r < 1 lorsque n croit indéfiniment, on voit que la 
série proposée est convergente dans le même cas. 
83. Séries IMAGINAIRES. — Considérons actuellement la série, à 
termes imaginaires, 
D A EE EE le RE CE (1) 
On sait (n° 62) que, pour qu'une expression imaginaire converge 
vers zéro, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de son module. 
La convergence de () exige done simultanément que 
1° Les modules de ses divers termes décroissent à mesure que n 
augmente. 
2° La somme de tous ses termes, à partir d'un certain terme, dé- 
eroisse en-dessous de toute limite, à mesure que n augmente. 
Cette dernière condition ne sera satisfaite que si le module de 
cetle somme va sans cesse en décroissant ; mais nous savons que 
(n° 65) le module de la somme de plusieurs types imaginaires est 
moindre que la somme des modules de ces types; done, si cette 
dernière somme converge vers une limite finie, c'est-à-dire si la 
somme des modules des termes de (À) forme une série convergente, 
la série imaginaire (1) est elle-même convergente. 
84. Les traités d'analyse différentielle ne justifient point l'appli- 
cation qu'ils font, au cas de l’imaginarité des variables, de certains 
développements qui n'ont été obtenus que pour des valeurs réelles 
des mêmes éléments. 
Cette lacune regrettable se fait principalement remarquer pour 
les séries de Taylor et de Maclaurin. 
Pour satisfaire aux besoins de cette dissertation nous établirons 
seulement ici que, 
Tuéorène VIIL. — La formule de Maclaurin subsiste pour toute 
valeur réelle ou imaginaire de la variable; et nous signalerons le 
cas où elle deviendrait illusoire. 
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