sur les vrais principes de l’Algèbre. 173 
Et pour satisfaire à cette inégalité, il faut que 
ed (1) 
Cette dernière relation, qui établit le théorème proposé, subsiste 
encore lorsque l'on suppose & nul, puisqu'aulieu de O PO P, 
on à O P' < O A ; par suite on voit (zéro ne pouvant être affecté 
d'aucun signe) que — à < 0. 
2me Démonstration. Considérant les nombres négatifs comme 
restes d'une soustraction 4 — b dans laquelle le diminueur est plus 
grand que le diminuende, et supposant que & étant constant, b soit 
au contraire variable, 1 est clair que plus le diminueur db augmente, 
plus le reste diminuera ; pour b => «on peut donner au reste la forme 
explicite d'une quantité négative, en écrivant 
resie — — (0 — a) 
Dès lors il devient évident que, ce reste décroissant lorsque b aug- 
mente, fout nombre négatif est d'autant plus grand que sa valeur 
ABSOLUE numérique est moindre. 
5% Démonstration. Au point de vue philosophique on peut dire: 
La formation ou la composition des grandeurs étant dénotée par 
le signe +, la déformation, dénoncée par le signe —, sera d'autant 
plus grande et plus puissante qu'il y aura d'éléments, d'unités sur 
lesquelles la décomposition aura porté. 
La quantité — (x + à) indique donc une déformation plus com- 
plète que la quantité — ( « ) ; et comme la grandeur dimNUE à me- 
sure que la décomposition agit sur un plus grand nombre d'unités, 
la relation (1) devient manifeste. 
98. Les quantités négatives entières forment done, en vertu de 
(4) et (2) la suite croissante 
—n,—(n—1), —(n—2)........... » 9, 2,4 
Et il est bon de remarquer que © est la limite supérieure de cette 
suite, mais que cette imite ne peut jamais êire atteinte. 
De sorie que les quantités positives et négatives fournissent lé- 
chelle suivante continue et graduelle, dans laquelle & est la Lure 
inferieure des premières et la LIMITE supérieure des dernitres : 
—(n1), Nice —9,—2,—1,0, 1 2,45 es Ln,+(n+1) 
99. Par diverses démonstrations directes du théorème précédent 
nous permetions d'éviter, selon les divers points de vue auxquels on 
peut se placer, l'écueil contre lequel sont venus se briser Les auteurs 
des meilleurs traités d'Algèbre : MM. Lefébure de Fourey, Mayer ct 
Choquet, 4. Bertrand multiplient les conventions sans nécessité, e 
