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INFINITÉSIMAL. D 
du nombre fini a par le nombre n infini. Ayant doncx=a:n, il 
vient nxæ== «. Ainsi le produit de deux facteurs, l’un infini ei 
l'autre infiniment petit, est toujours un nombre fini. On a aussi 
a:xæ—n. Donc le quotient d’un nombre fini par un nombre 
infiniment petit est un nombre infiniment grand. 
7. — Le quotient de l'unité divisée par le nombre infini » est le 
nombre x infiniment petit (n° 5 },d'où x — 1 sur n. Multipliant de 
part et d'autre par le nombre fini « quelconque, il vient ax — a:n. 
Le produit du nombre infiniment petit x par le nombre fini à 
quelconque est donc infiniment petit lui-même (n° 6). De Rà résulte 
que le rapport ou le quotient de deux nombres infiniment pelits est 
toujours un nombre fini, mais inconnu et inexprimable comme ses 
deux termes. 
8. — Maintenant , si chaque unité est divisée en un nombre 
infini » de parties égales infiniment petites , il y a une infinité de 
fractions , à termes infinis , comprises entre 2 et5 , par exemple. 
Toutes ont le même dénominateur n infini, tandis que leurs 
numérateurs infinis sont: 2n+1, 2n+2, An +5, 5n—1. 
Or, beaucoup de ces fractions se simplifient et prennent des 
valeurs finies exprimables , parce que les deux termes ont un facteur 
infini commun. Par exemple , l'une de ces fractions se réduit à 
TE il faut donc que ses deux termes aient un facteur infini 
commun , contenu 29 fois et 12 fois au numérateur et au déno- 
minateur. 
9. — Il existe une infinité de nombres infiniment petits différents, 
aussi bien qu'une infinité de nombres infinis (n° 5). Ces deux 
genres de nombres, trrationnels où inexprimables en chiffres, sont 
dits infinis et infiniment petits du premier ordre. Et puisque ce 
sont des nombres inconnus, désignés chacun par une lettre , on 
peut toujours les soumettre à toutes les opérations du caleul 
littéral. Or, les produits de 2, 3, 4,... nombres infinis ou infiniment 
petits sont dits infinis ou infiniment petits du second ordre, du 
troisième, du quatrième, etc. 
10. — On sait que la racine r ième de chaque nombre m entier 
donné, qui n’est pas une puissance r ième parfaite, est une fraction 
irréductible finie » sur d dont les deux termes sont deux nombres 
entiers infinis inégaux. Et comme chaque fois on a m—n"sur d', 
il en résulte : 
