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J.-N. NoëL. — ÉLÉMENTS DU CALCUL 
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n'=d xXmMm et — X mn. 
On voit que deux infinis ou infiniment petits du r ième ordre 
peuvent être l’un de l'autre un multiple donné et par suite une 
fraction connue. 
Cela étant vrai pour r —9, 5, 4, etc. , on en conclut que non- 
seulement il existe une infinité d’infinis ou d’infiniment petits du 
second ordre, du troisième, du quatrième, etc.; mais de plus, 
le rapport de deux infinis ou de deux infiniment petits du même 
ordre est toujours un nombre fini inconnu et indéterminable comme 
ses deux termes. 
11. — Il est évident que la somme de plusieurs nombres infinis 
ou infiniment petits est un nombre infini ou infiniment petit elle- 
même. Mais s’il y a une infinité de nombres infinis ou infiniment 
petits, la somme est un nombre infini du second ordre ou un nombre 
ini inconnu. 
1° Soit n le nombre infini de termes inégaux et infinis de la 
somme S ; soit #’ le plus petit et” le plus grand de tous ces termes 
infinis. Il est clair que S> nn et S< nn’; d'où l'on voit que la 
somme S est comprise entre les deux infinis du second ordre nn’ et 
nn". Donc elle est un nombre infini du second ordre elle-même. 
2° Soit 5 la somme du nombre infini # de termes inégaux et 
infiniment petits; soit # le plus petit et p le plus grand de ces 
termes infiniment petits. On a donc S$'>mnet S'<pn. Or, le 
produit d’un nombre infiniment petit per un nombre infini est un 
nombre fini (n° 6); donc la somme S, comprise entre les deux 
nombres finis mn et pn, est elle-même un nombre fini, toujours 
inconnu comme ses deux facteurs. 
12. — Un nombre infini n n'est ni plus ni moins infini lorsqu'on 
lui ajoute ou qu'on en retranche un nombre fini, 4 par exemple ; 
cette addition ou cette soustraction est done inutile, et l’on doit la 
négliger absolument comme si 4 était rigoureusement nul à l'égard 
du nombre infini n. De sorte que n est la même chose que n + 4 ; 
et ainsi, 1° Z est un zéro relatif au nombre n infini; 2 deux 
nombres infiniment grands sont égaux entre eux lorsqu'ils ne dif- 
férent que d’un nombre fini, donné ou inconnu. 
Il suit de là que si deux nombres infinis ou infiniment petits sont 
inégaux entre eux, leur différence, toujours inconnue , est un 
nombre infini ou infiniment petit. 
