INFINITÉSIMAL. 55 
45. — il résulte des définitions que: 1° Un infini d’un ordre 
quelconque contient une infinité de fois l'infini de l'ordre 
immédiatement inférieur; 2° le nombre infiniment petit d’un 
certain ordre contient une infinité de fois l'infiniment petit de 
l'ordre immédiatement supérieur. — Soit en effetle nombre infini- 
ment petit x—1 sur ©. Îl est clair, par exemple, que 
Go ici --ico et mit — 1; x "00. 
44.—Si,en cherchant un nombre fini AÀ,on est conduit à l’égalité 
A—Bæ+x,B étant un nombre fini donné, et x un nombre 
auxiliaire infiniment petit, toujours inconnu ; il est clair que x doit 
disparaître de cette égalité, d'abord comme auxiliaire et ensuite 
parce que À ne serait pas un nombre fini et serait toujours inconnu, 
si linfiniment petit x devait rester dans l'expression BÆ x de A. 
D'ailleurs, x étant moindre que tout nombre donné, si petit que 
soit ce dernier nombre , on ne saurait en tenir compte pour 
augmenter ou diminuer le nombre B fini. On doit donc forcément 
négliger x et écrire A —B. 
15. — En général , tout nombre ne peut augmenter ni diminuer 
celui qui le contient un nombre infini de fois, et doit se Pete à 
l'égard de celui-ci : c’est un zéro relatif à ce dernier. 
Car le nombre de fois n'est ni plus ni moins infini lorsqu'on lui 
ajoute ou qu'on en retranche une fois le premier nombre; cette 
addition ou cette soustraction est done inutile et doit se négliger 
absolument comme si ce nombre était rigoureusement nul. D'ail- 
leurs, ce nombre est variable et de plus infiniment petitrelativement 
au second. 
16. — De là et du (n° 15) résulte le Principe infinitésimal que 
voici : 4° Tout nombre fini est nul à l'égard d'un nombre infini, et’ 
chaque infini d'un certain ordre est nul relativement à l'infini 
de l'ordre immédiatement supérieur ; 2° tout nombre infiniment 
petit est nul relativement à un nombre fini, et chaque infiniment 
petit d’un certain ordre est nul à l'égard de l'infiniment petit de 
l'ordre immédiatement inférieur. 
17. — Ainsi lorsque les grandeurs infinitésimales sontemployées 
comme auxiliaires pour calculer des nombres finis, et avoir des 
formules générales , on abrège singulièrement les calculs et les 
raisonnements, sans altérer aucunement la rigoureuse exactitude du 
résultat cherché, en appliquant le principe infinitésimal ci-dessus ; 
vu qu’alors on supprime d'abord tous les termes fournissant ceux 
