56 J.-N. NOEL. —— PROPRIÉTÉS INFINITÉSIMALES 
qui doivent disparaitre à la fin pour avoir le nombre fini cherché. 
Nous en aurons plus bas différents exemples. 
Remarque. — La théorie précédente du Calcul infinitésimal , 
étant très-claire et très-simple , devra figurer dans les éléments. 
Elle y est nécessaire à la discussion des problèmes généraux 
d'algébre et de géométrie numérique ; nécessaire encore à la 
définition descriptive de toute courbe continue finie ou limitée, et 
aussi pour faciliter les déductions logiques du ealcul dans les 
rapports et les proportions entre quantités continues, ainsi que pour 
établir clairement et simplement les propositions de mesurage dans 
le cercle et les corps ronds. 
Propriétés infinitésimales du cercle. 
Observons d’abord que la définition descriptive de chaque courbe 
continue finie conduit immédiatement aux propriétés infinitésimales 
du cercle, ainsi que nous l'avons établi ailleurs. Mais elles se 
déduisent plus exactement du Principe des deux variables 
auxiliaires finales, dont la nouvelle démonstration ci-dessous est la 
plus claire et la plus complète. Voici ce principe : 
18. — Considérons l'équation toujours exacte, savoir : 
a+x—b+y ou bien‘a—b—y—x, 
dans laquelle a et b sont deux quantités constantes , tandis que 
x et y sont deux variables pouvant diminuer ensemble indéfiniment 
sans que l'égalité proposée cesse d'exister. Je dis que les deux 
variables sont égales entre elles et qu'il en est de même des deux 
constantes. 
D'abord la différence y— x est constante avec «a —b ; or cela ne 
peut arriver que quand cette différence est nulle. 
Soit en effet posé y—vx; on a donc alors 
y—L=vAx—x et y—x—x (v—1). 
Soit d'ailleurs # un nombre donné , exprimable ou non , mais 
plus grand que l'unité. Puisque x et y peuvent diminuer ensemble 
sans que l'égalité proposée soit détruite, supposons que le facteur x 
diminue et devienne son quotient par n ; il faudra done, pour que la 
différence y—x demeure constante, que l’autre facteur v—1 
devienne son produit par n. Or, cela est impossible; car les 
variations de x et de y n'ont évidemment aucune influence sur 
le terme — 1 du second facteur v— 1. La différence y—x n'étant 
donc constante que quand elle est nulle, il en résulte x— 
et ab. 
