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54. — L'abscisse x étant la même dans l'équation de l'hyperbole 
et dans la double équation ay — + bx de deux droites passant 
par le centre, on à 
y ba =— a btet a y —bx =0; 
b? 
YHY 
Ïl est clair que l'abscisse + commune croissant indéfiniment, il 
en est de même des ordonnées y et y; done au contraire la diffé- 
rence y — y diminue sans cesse et devient infiniment petite, sans 
jamais devenir nulle, lorsque y’ et y deviennent infiniment grandes 
avee x, Donc l’hyperbole s'approche sans cesse des deux droites 
ay — + bx sans jamais pouvoir les rencontrer, pas même à l'in- 
fini. Ces deux droites sont donc à la fois les deux asymptotes de 
l’hyperbole et ses deux diamètres non transverses, éqaux el infinis : 
ils suivent immédiatement les deux diamètres transverses, infinis et 
égaux. 
55: — La construction des asymptotes, d'après les équations ei- 
dessus, apprend que : Les axes sont bissecteurs des angles compris 
par les asymptotes; et de plus, que : Si l’hyperbole est équilatère, 
c’est-à-dire si ses deux axes sont égaux, les asympiotes sont perpen- 
diculaires entre elles et bissectrices des angles droits des deux axes. 
— Réciproquement, si les asymplates sont perpendiculaires entre 
elles, l’hyperbole est équilatère (démontrer). 
56. — L'unité imaginaire est un symbole d'impossibilité absolue 
et n'a pas d'autre signification. Mais, dans les Annales de Gergonne 
et dans plusieurs ouvrages spéciaux, différents auteurs ont cru pou- 
voir établir que |/— 1 est un symbole de perpendicularité. Or, 
pour démontrer cette proposition, voici le procédé de M. Vallès, 
en 1841, un peu modifié, à peu près comme ci-dessous, par lau- 
teur des Véritables principes d’algèbre, en 1865 : 
« Dans le cercle dont O est le centre et a le rayon numérique, 
soient AOB et COD deux diamètres perpendiculaires entre eux, le 
premier étant horizontal. Si l’on a égard à l'opposition des direc- 
tions, on aura OB——+Laet OA = — a, OC—=<+ae OD—— «. 
D'ailleurs, puisque OB — OC — + a, il doit exister le moyen d’in- 
diquer que OB, dans son mouvement autour du centre O, est passé 
à la position perpendiculaire OC. Supposons que ce moyen con- 
d’où y — y = betty — y — 
