84 J.-N. NoEL.— SURFACES DU SECOND ORDRE. 
64. — Les axes conjugués des x et des y d’une parabole tracée 
sont le diamètre OX et la tangente OY à l'origine O ; l'angle YOX 
étant mesuré par l'arc de 8 degrés dont l'unité linéaire est le rayon. 
Soit OB=X% et CB—h les coordonnées du point C de la courbe : 
achevant le parailélogramme OBCA, son aire est Ak sin 0e. L'are OC 
de la parabole divise OBCA, en deux parties OAC et OBC dont il 
s'agit de calculer les aires. Or, concevant OAC décomposée en un 
nombre infini x de tranches parallèles à OX, toutes d'égale hau- 
teur à sin 6, d'où in—h, et raisonnant comme plus haut, on verra 
que : 
aire OAC—L NE sin 9; d'où are OBC—Ènk sin 9. 
CoroLaires. — Si 6=90°, la figure OACB est un rectangle ; et 
alors les volumes engendrés par les révolutions des figures OAC et 
OBC autour de l’axe de symétrie OX sont équivalents. 
APE 1 ù 
IL. — Observant que n infini donne Sn*—;n°, on verra que si 
q 5 q 
le système OBCA fait une révolution autour de OY, les volumes 
décrits par OAC et OBC sont le cinquième et les 4 cinquièmes du 
cylindre engendré par le rectangle OBCA. 
Remarque. — Lorsque les demi-axes a et b sont égaux, l'ellipse 
devient la eirconférence dont « est le rayon numérique ; et l'aire 
elliptique devient l'aire du cercle, savoir zaa. Il faut donc que zab 
exprime l’aire de l’ellipse proposée. 
Surfaces du second ordre. 
65. — On sait que l'équation complète du second degré, aux 
trois coordonnées variables x, y, z, représente cinq genres de sur- 
faces du second ordre,ainsi que leurs variétés, suivant les valeurs et 
les signes des coefficients numériques. Ces genres sont : l’Ellipsoïde, 
l’hyperboloïde à une nappe, l'hyperboloïde à deux nappes, le para- 
boloïde elleptique et le paraboloïde hyperbolique. — Les deux der- 
nières surfaces n’ont point de centre, tandis que les trois premières 
ont chacune un centre unique de symétrie, intersection des axes rec- 
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surfaces rapportées chacune à son centreet à ses troisaxes de symétrie, 
