LQ 
J,-N. NoEL.— SURFACES DU SECOND ORDRE. 85 
sont-elles représentées par les équations les plus simples ci-dessous, 
où les signes sont mis en évidence : 
Lx®My+Nz=H et LIMA<N, 
Lx°My—Nz=H et L> M, 
Lx®—My—Nz=H et MAN. 
Pour rendre homogène chacune de ces équations, soit posé 
La=H, Mb°=H et Nc°=H ; 
d'où l'on tire les valeurs de L, M et N. Substituant ces valeurs dans 
les équations proposées et divisant les deux membres de chacune 
par H, on trouve les équations homogènes ci-dessous de l’ellip- 
soïde, de l’hyperboloïde à une nappe et de l'hyperboloïde à deux 
nappes : 
x YŸ À 
es tpet eta>b>c, 
2 
TURN 
DR DEEE) et a<b, 
66. — La discussion de ces équations fait voir que dans l’ellip- 
soïde les droites numériques 24>2b > 2contleurs milieux au centre 
de la surface, et sont situées sur les axes de symétrie des x, des y et 
des z. Voilà pourquoi ces trois droites sont nommées les axes prin- 
cipaux de l'ellipsoïde : 2a est le grand axe, 2b l'axe moyen et 2c le 
petit axe. Ces trois axes sont terminés de part et d'autre à la sur- 
face en six points appelés sommets de l'ellipsoide. 
Le changement de € en—c° ou de c en cJ/—1, dans l’équation de 
l’ellipsoïde, donne l'équation de l'hyperboloïde à une nappe. Gette 
dernière surface a donc quatre sommets réels, extrémités du premier 
axe 2a et du second axe 2b (on sait que 2a<2b) : elle a deux 
sommets imaginaires, parce que les extrémités du troisième axe 2c 
n'appartenant pas à l'hyperboloïde en sont deux points imaginaires. 
Voilà pourquoi le troisième axe 2c est aussi appelé axe imaginaire : 
c'est une longueur réelle à extrémités imaginaires. 
Enfin, si dans l'équation de l'ellipsoïde on change simplement 
b* et c* en—b? et—c° ou b et c en bV/—1 et cV/—1, on aura 
