86 J.-N. NOEL.-- SURFACES DU SECOND ORDRE. 
l'équation de l’hyperboloïde à deux nappes. Dans cette surface fe 
premier axe 2a est seul réel, puisque ses deux extrémités apparte- 
nant à la surface en sont les deux sommets réels. Maïs le second axe 
2b et le troisième 2c (on sait que 2b >> 2e) sont aussi appelés axes 
imaginaires, parce que leurs extrémités n'appartenant pas à la sur- 
face proposée, en sont les quatre sommets imaginaires. 
67.— Procédant comme pour l'ellipse et pour Fhyperbole, on 
démontre que: 1° Detousles diamètres de l'ellipsoïde le premier axe 
2a est le plus grand et le troisième 2c le plus petit. 
2% Le premier axe 2a de l'hyperboloïde à une nappe est le plus 
petit de tous ses diamètres réels, tandis que le troisième axe 2c est 
le plus petit de tous ses diamètres imaginaires. 
3° Enfin dans l'hyperboloïde à deux nappes le premier axe 2a 
et le troisième 2c sont l’un le plus petit de tous ses diamètres réels et 
l'autre le plus petit de tous ses diamètres imaginaires. 
Il résulte de ces trois propositions que chacune des surfaces 
douées de centres ne peut avoir qu'un seul système d’axes principaux 
et de symétrie. 
68. — L'étude de cinq surfaces du second ordre et de leurs varié- 
tés devient très-facile quand on les considère successivement, mais 
rapportées d'abord à leurs axes principaux et ensuite à leurs axes 
conjugués. — De plus, la décomposition en uneinfinité de tranches 
parallèles, toutes d’égale épaisseur infinement petite, et la résolu- 
tion des triangles sphériques rectangles, conduisent aux formules 
pour calculer les volumes de segments dans les cinq surfaces rap- 
portées à leurs diamètres conjugués et à leurs paramètres diamé- 
traux, quant aux deux paraboloïdes. Il en résulte les formules plus 
simples en axes et en paramètres principaux donnés numérique- 
ment. 
Observons d’ailleurs que si b=—c—4, l'ellipsoide devientla sphère 
dont a est le rayon numérique ; par conséquent le volume E de 
l'ellipsoïde devient celui de la sphère, savoir 4 tiers raaa.Ïl faut 
donc qu'on ait la formule : 
Cette formule est ainsi démontrée très-clairement et Le plus sim- 
plement possible. — Si c—b et b—«, on a les expressions des vo- 
