J.-N. NGEL.— SURFACES DU SECOND ORDRE. 87 
lumes de l'ellipsoïde allongé et de l'ellipsoïde aplati, comme plus 
haut (n° 62, coroll. IE et HF). 
69. — Les trois propositions plus haut (n° 66) étant clairement 
démontrées, rectifient les erreurs commises sur les axes 2c des deux 
hyperboloïdes en admettant que tout nombre soustractif est d’au- 
tant plus grand que sa valeur absolue est plus petite ; car alors, dans 
chacune des deux surfaces, le troisième axe 2c serait le plus grand 
de tous ses diimètres imaginaires ; ce qui est absurde. 
Nous avons nous mêmes commis ces erreurs, d'abord parce que 
nous n'avions pas remarqué que {out nombre négatif, considéré en 
lui-même, est d'autant plus petit qu'il renferme moins d’unités sous- 
tractives, représentées chacune par—1, Ensuite parce que nous ne 
connaissions pas bien ce que signifie V/—1 en géométrie analytique. 
Observons encore que si les axes principaux doivent se tracer sur 
la figure proposée, lorsqu'on en connait les longueurs, les équations 
de ces axes sont nécessaires à cet effet; tandis qu'elles sont inutiles, 
si l’on peut employer une autre figure. 
70. — La théorie du maximum et du minimum du second degré, 
appliqué à chacune des trois surfaces rapportée à ses diamètres con- 
Jugués, fournit une équation finale du troisième degré, ayant pour 
racines les carrés des trois demi-axes principaux de la surface. Or, 
d'après la composition des coefficients avec les racines, cette équa- 
tion finale donne les trois relations des axes avec un système 
quelconque de trois diamètres conjugués, dont on connait les carrés 
numériques. 
Les trois relations pour l'ellipsoïde fournissent celles pour cha- 
cune des deux autres surfaces, moyennant les changements de signes 
de certains carrés : 1l résulte, comme corollaires des trois relations, 
d'importantes propriétés de Ia surface proposée. 
Si d'ailleurs léquation finale est numérique et qu'elle ait une 
racine connue, diviseur du dernier terme, on pourra calculer les 
carrés des trois demi-axes principaux cherchés, aussi bien que les 
équations de ces axes. 
71. — Pour calculer les axes principaux de la surface rapportée 
à trois diamètres rectangulaires, d désignant un demi-diamètre 
quelconque, on a d°=u et les deux équations générales simultanées : 
Ax° By +Cr+92Dry+2Exz +9 FyzG, 2-4 y +7 0. 
Eliminant les seconds membres et résolvant l'équation finale par 
