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En cada uno de los ejemplos anteriores llegábamos á una 

 solución y era la única solución. A ésta se le podía dar va- 

 rias formas; mas todas se reducían á una sola. 



Aquella clase de problemas en ecuaciones diferenciales si- 

 multáneas, no podían tener más que una solución, como de- 

 mostró Cauchy en su célebre teorema, y como se demuestra 

 desarrollando las funciones en series, que resultan conver- 

 gentes y únicas en los círculos de convergencia. ¿Pero en 

 las ecuaciones diferenciales parciales, sucede lo mismo? 



Es un punto importante el que acabamos de señalar; mas 

 hoy no podemos entrar en más pormenores ni en discusio- 

 nes más amplias, pues no son de este momento y nos sepa- 

 rarían de nuestro fin. 



Baste recordar que la ecuación diferencial parcial es la con- 

 densación, por decirlo de este modo, de muchas ecuaciones 

 diferenciales simultáneas, ó si se quiere, la generalización 

 de una de ellas; y de todas maneras el teorema de Cauchy 

 subsiste todavía como puede verse en varias obras de Cál- 

 culo integral, por ejemplo en la de Mr. Jordán. 



Volvamos, pues, á la integral 



X = A sen (hz -{- gt), 



admitiendo las condiciones ya expresadas. 



Observemos en esta ecuación, que si al tiempo t se le da 



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 un incremento , el valor de x no se alterará, porque ten- 

 dremos: 



sen (hz +g(f + ^\\ = sen{hz + gt + 2r.) = 

 = sen(/^^ -f gt). 



De suerte que la vibración, ya podemos darle este nom- 



