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(3) Xo Jo -- — yo Xo = io 



yo ^0 "= ^0 yo "= •'^o 



^0 Xq = Xq Zq = 3^0' 



Si estas ecuaciones de condición entre las lo, 7o> 7o son 

 compatibles con las (1), el vector que acabamos de definir 

 deberá reemplazar á los términos que discutimos en (1); pero 

 en el caso contrario hemos de suponer que 



(4) Xo fo = fo x'o = yo Fo = Zo fo = zl Xo = Xo Z~o = 0. 



Para elegir en esta disyuntiva, multipliquemos por x,, el 

 primero y último miembro de la igualdad primera de (3), por 

 ejemplo, 



■"^0 yo = Xo Zo, 



que conduce, en virtud de las ecuaciones (1) y (3), á la igual- 

 dad inadmisible 



yo = ~yo' 



Luego el producto 7 J queda reducido á la primera línea 

 de (2), y es una magnitud esencialmente escalar; de aquí que 

 se le designe con el nombre de producto escalar. Ejemplos 

 múltiples de este algoritmo se encuentran en las ciencias físi- 

 cas, y para no citar sino el más sencillo, recordemos que 

 ésta es la expresión del trabajo ejecutado por una fuerza que 

 hace un ángulo 9 con su trayectoria. 



Pero si analizamos lo hecho anteriormente, salta á la vista 

 que ha sido admitir por definición que 7^, j^, z¡ satisfacen á 

 las condiciones (1) y (4). Nada se opone ahora, ni conduce 

 á ninguna contradicción, á admitir que en lugar de estas con- 

 diciones Xq, Jq, 7o satisfacen á las (3) y 



