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SUR TOUTES LES DEVELOPPEES 



qu'une Courbe peut avoir à l'hijini. 



Par M. De Maupertuis. 



TO u T E Courbe peut être confidt'rc'e comme formée 

 par le Développement d'une autre, & le rayon de la 

 Développée exprime, comme l'on Içait, la longueur de la 

 Courbe, dont ou fuppofe que le Développement a produit 

 la première. 



L'on n'a point Jufqu'icï , que je fçache , poufTé la Ipéculatioa 

 nu de-là de cette Développée ; cependant , comme la première 

 Courbe eft flippolee formée par le Développement d'une fé- 

 conde, l'on peut conf/dérer cette féconde, comme formée 

 par le Développement d'une troifiéme, cette troifiéme par 

 le Développement d'une quatrième, & ainfi à l'infini; & 

 celle des Développées à laquelle l'on voudra s'arrêter , étoit, 

 pour ainli dire, chargée de toutes les Courbes fupérieures. 



Je vais examiner la relation qui cfl entre les longueurs 

 de toutes ces Courbes , &: donner les formules générales 

 de tous les arcs des Soudéveloppées , tant pour les Courbes 

 géométriques , que pour les méchaniques ; fans qu'il entre 

 dans ces lornuilcs, autres grandeurs que les Coordonnées de 

 -la première Courbe, avec leurs différences. 



Soit la Courbe A Al formée par le Développement d'une pir. i. 

 •féconde •Z?yî</\c^ltc féconde, formée par le Développement 

 d'une troifiéme CA4', &c. 



Soient les petits arcs MN , M^ N'-, décrits pendant un 

 •des pas infinijûiejn petits des fils développants M^M, A'PM'-; 

 je dis que ces fils à chaque inflant forment toujours des trian- 

 gles fcniblables M N"- N , M"- N^ N\ ' -■ ••' -^ 



Car chacun eftreélangle en y^& Af; & l'angle MN'-N 

 tiï complément de l'angle A^NN\ & de l'angle M'N'-NK 

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