198 Mémoires de l'Académie Royale 



les deux, fi cette condition elt réciproque, & la Courbe a 



une branche, ou deux branches hyperboliques. 



IX. Dans les Lignes du troificnie ordre, ou les Courbes 

 du fécond genre, les Equations feront donc telles, que cha- 

 cuncs des Coordonnées auront trois dimenfions, & alors elles 

 couperont chacune la Courbe en trois points. Mais l'une des 

 Coordonnées pourra perdre une dimenfion , & même deux, 

 fi ces Courbes ont une ou deux branches de l'elpece parabo- 

 lique ou hyperbolique ; & même chacune des Coordonnées 

 pourra perdre une dimenfion , fi les Axes de chacune Ibnt 

 parallèles à une Afymptote, ou à une Tangente infinie, mais 

 il arrivera toujours que les Coordonnées Ce multiplieront 

 entr'elles, de fitçon qu'il y aura au moins dans l'Equation un 

 terme où ces Coordonnées formeront par leur produit une 

 grandeur de trois dimenfions, car autrement cette Equation 

 appartiendroit à une Secflion conique. 



X. Les Courbes dont le degré de l'Equation cft impair 

 1,3, 5,7, &c. ont au moins deux branches oppofées infi- 

 nies , car chacune des Coordonnées ayant un expolànt im- 

 pair, peuvent croître l'une & l'autre pofitivement & négati- 

 vement jufqu'à l'infini ; toutes les Courbes du fécond genre 

 ont donc au moins deux branches hyperboliques ou parabo- 

 liques oppofecs. 



X I. L'Equation générale des Lignes du troifiéme ordre ," 

 & qui les renferme toutes , doit donc être telle , que l'une 

 des Coordonnées doit avoir trois dimenfions & les dimen- 

 fions inférieures dans les différents termes de l'E'quation où 

 cette Coordonnée entre ; & l'autre Coordonnée, toujours 

 parallèle à une Afymptote, ou à une Tangente infinie, ne 

 doit avoir que deux dimenfions & les inférieures dans les 

 termes où elle entre. Mais les termes de cette dernière Coor- 

 donnée, pour faire une quantité de trois dimenfions , doi- 

 vent être multipliés par les différentes puiffinccs de la pre- 

 mière , enforte que le premier terme ou la féconde Coordon- 

 née a deux dimenfions , doit être multiplié par la première 

 Coordonnée élevée aux expofants i & o ; & le fécond terme, 



