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Il ne faut que prendre un nombre premier quelconque, par 
exemple 41, en retrancher 1 , & fa moitié 20 eft l'expofant 
de la puiflance, qui a 41 pour divifeur. En même temps on 
voit que l’expofant 20 étant formé des faéleurs, 2,2, 5, 
un nombre élevé à la 20€ puiffance, eft un quarré , une 
4me, une $m€,une rome & une 20€ puiflance, qu'il n'a 
point la propriété en qualité de 4m° ni de ro®° puiffance, 
& qu'il ne la que dans les trois autres, & que par conféquent 
il eft divifible par $ , par 11, & par 41. Nous ne parlons 
point de la propriété d’être divifible par 3 en qualité de 17° 
puiffance, cela eft commun à tous les nombres, & doit être 
toüjours fous-entendu. On trouvera de même que le nombre 
premier 29 appartient à la puiflance 14, qui n'étant formée 
que des facteurs 2 & 7, ne fera divifible que par $ en qualité 
de quarré, par 29 en qualité de 14° puiflance, & non en 
qualité de 7"° puiflance. 
* Il eft fouvent difficile, peut-être même impoflible, de 
trouver des démonftrations générales & analytique de ces 
fortes de propriétés des nombres, & M. de Beaufort n'en a 
pas donné de celle ci. On eft obligé de fe contenter d’induc- 
tions aflés longues, il y a tout lieu de croire que ce qui fe 
foûtient toûjours fans altération pendant un long cours, fe 
foûtiendra également jufqu’au bout. La preuve fort fimple & 
fort courte, qui a été donnée de la divifibilité de tout nombre, 
ou de toute 1° puiffance par 3 , pourra être appliquée fuccef- 
fivement aux autres puiflances, en y apportant les modifica- 
tions néceflaires, & par cette route on fera, comme M. de 
Beaufort, des induétions fuffifantes de puiffance en puifance. 
Quand on a de grands nombres, dont on veut fçavoir, fi 
une certaine racine, par exemple, la $"° eft rationnelle, ou 
irrationnelle, on peut par la Théorie de M. de Beaufort s’épar-- 
gner la peine d'une longue & pénible extraction de racine 
s"°, car frle nombre propolé, augmenté ou diminué de 7, 
n'eft pas divifible par 11, certainement il meft pas une 
puifflance $ me, & fa racine se eft irrationnelle. On voit du 
premier coup d’œil-f: un nombre eft divifible par 5 , car alors 
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