70. HisToiRE DE L'ACADEMIE RoyarE 
la doctrine des ordres radicaux, ou des racines de l'Infini, dans 
toutes les’ variétés de leurs expofans. Quelques Géométres 
avoient déja fenti le befoin de ces ordres radicaux dans les 
équations des courbes ; lorfque l'une ou l'autre des deux in- 
connuës de différentes dimenfions eft portée jufqu'à l'Infini. 
La Théorie de ces ordres eft ici expliquée à fond. Les racines 
d'un expofant fini, quoique du mème ordre potentiel que 
lInfini dont elles font racines, font infiniment moindres que 
lui, & difparoiffent devant lui. Bien davantage, ces racines 
formant dans l'intervalle de 1 à l'infini une progreffion géo- 
métrique finie par le nombre de fes termes, & ne différant 
entr’elles que de quelques ordres radicaux, où même d'un 
feul ordre radical, font néantmoins infiniment plus grandes 
les unes que les autres, & difparoifient fucceflivement les 
unes devant les autres. Il n'en eft pas de même, quand le 
rapport géométrique de 1 à l'infini a été divifé en un nombre 
infini de parties ou de termes dans la progreflion. Aucun 
n'eft infmiment grand par rapport à celui qui le précéde, 
& du côté de l'origine ïls font réellement finis. Cette der- 
niére propriété convient auflr à la progreflion arithmétique 
infiniment divifée : & de-là naît une curiofité nouvelle dans 
les calculs. Une longue fuite de nombres finis prefentez fous 
une forme infinie. Cette forme fe réduit aux nombres natu- 
rels dans la progreffion arithmétique, & il eft impoffible de 
les y réduire dans la géométrique. Mais on démontre que 
dans cette derniére progreflion le fecond terme plus grand 
que 1, eft plus petit que 2, le troifiéme plus petit que +, 
le quatriéme plus petit que 4, & ainfi de fuite. 
Îl s'agit dans la troifiéme Section de {a fuite infinie des 
nombres naturels élevée à fes puiffances, & comparée à Ia 
progreffion géométrique correfpondante. Cette Section eft le 
véritable fondement de tout l'ouvrage. Elle ne peut être 
. comprife elle-même que par une étude très attentive; elle 
enferme des fuppoñitions que la feule accoûtumance à l'objet 
peut faire paroître d'abord recevables, enfuite neceflaires, & 
enfin vrayes ; Nous allons rapporter les deux principales. 
