6  HisToiRE DE L'ACADEMIE ROYALE 
Il arrive de-là qu’une fuite fi élevée dès le fecond terme, 
& fi croiffante jufqu'au dernier, qu’elle n'aura eu pour fomme 
ue ce dernier terme dans la Seétion précédente, pourra 
être fi abaiflée & fi décroiflante dans celle-ci, qu'elle n'aura 
pour fomme que fon premier terme ou Funité. Enfin par 
rapport à l'ufage de la fommation des fuites qui fe préfente 
fouvent dans la Géométrie, il eft toüjours certain que la 
fomme totale d’une fuite fractionaire fera infinie, fi les Finis 
de la fuite d’entiers correfpondante font en nombre infini; 
& qu'au contraire cette fomme totale fera finie, fi Les Finis 
de la fuite correfpondante ne font qu'en nombre fini. 
Nous n’omettrons pas ici un exemple de cette efpece, qui 
démontre, à pofleriori, V'exiftence des Finis indéterminables. 
On fçait par des Méthodes connües d’ailleurs, que la fuite 
frationaire +, +, +, +, &c. a une fomme infinie, & qu'au 
contraire cette même fuite étant quarrée +, +, 5, +7» &Ce 
n'a qu'une fomme finie. Il y a donc néceflairement des nom- 
bres finis devenus infinis dans leurs quarrez, qui demeurant 
finis dans la fuite fraétionaire des nombres, donnent une 
fomme infinie, & qui devenant infiniment petits dans la fuite 
fraétionaire des quarrez , réduifent leur fomme à n'être que. 
finie. Cette même expérience de Calcul démontre encore 
qu'il y a un nombre infini de nombres finis, puifque la fuite 
fraétonaire des nombres ne peut être infinie dans fa fomme 
que par le nombre infini de fes Finis; & l'on voit enfin que 
les Finis indéterminables fe trouvent dans le paffage du Fini 
à l'infiniment petit comme dans le paflage du même Fini à 
l'infiniment grand. 
Nous ne nous étendrons pas davantage fur la quatriéme 
Section, quelque nombre d’autres curiofités qu’elle renferme; 
telles que font des fuites infinies qui n'ont pour valeur qu'un 
nombre donné 2, 3, ou tel autre qu'on voudra; ou la dé- 
termination des Elemens immédiats des Infinis de tout ordre, 
c'eft-à-dire, la grandeur précife qui, prife une infinité de fois, 
donne cet ordre. L'emploi de l'infini n'a d'abord été ima- 
giné que pour chercher des valeurs finies : & dans cet ouvrage 
