Hg. 3. 
Fig. 4e 
342 MEMOIRES DE L'ACADEMIE RoYaALE 
Vers la convexité, l'on à trouvé BA — ss DT 
L'on aura donc le petit Trapeze MmBA — 
r+u + a 
r 
tic du + 
L'intégrabilité de chaque efpace compris entre les Cour- 
bes qui réfultent du développement & celle qu'on développe, 
dépendra de la nature de celle qu'on développe, & aucun de 
ces deux efpaces n'eft quarrable généralement, pas même en 
fuppofant la rectification de la Développée. Cependant les 
deux efpaces pris enfemble, celui qui réfulte du développe- 
ment vers la concavité, & celui du développement vers la 
convexité, ont une quadrature abfoluë, en fuppofant la reéti- 
fication de la Courbe qu'on développe. 
Car joignant les deux Trapezes Am BL, MmBA , Yon 
4aYu+4ar 
a 2r 
duxu—+a CL mn 
TNA: be 
du—2u+-2a du, dont l'intégrale eft 4 
+ 2au pour lefpace À LA x. 
Voici pourquoi les deux efpaces pris enfemble, font toû- 
jours quarrables, en fuppofant la rectification de la Courbe 
qu'on développe. 
Si lon fuppofe que la ligne qu'on développe, foit la droite 
OZ, les rayons de la Développée 17C devenant paralleles, 
il eft clair que l'on a BL=—B]=Mm—=8A—=821=du; 
les fignes OM, AL, croïffent l'une & l'autre en progreffion 
arithmétique ; l'efpace 4 À LA fera égal à la fomme de tous 
les petits rectangles ALB8, ou au quarré de OM+- 2 
OA x OM. Auffi alors a-t-on pour le petit refangle, qui 
eft l'élément de cet efpace, Mm x AL —du x 2u+ 24, 
dont la fomme eft uu + 2au ; celle que nous venons de 
trouver pour l'efpace # À L A. 
Mais ft la droite OA vient à fe courber, alors A7 & AL 
n'étant plus paraïleles, A{» devient plus petit que À 8, & 
plus grand que LB, & eft précifément autant moindre que 
A8, qu'il eft plus grand que LB, à caufe de ML—MA : 
