iy() A. Schmitz, Das Unendliche in Mathematik und Philosophie. 



werte solcher endlichen Größen, welche von einer unendlich werden- 

 den, d. h. über alles Maß hinaus wachsenden Größe abhängen. 



Die zweite Hälfte der vorstehenden Behauptung wird der Mehrzahl 

 der jetzigen Mathematiker vollständig bekannt sein; sie soll jedoch im 

 folgenden genauer erörtert werden mit Rücksieht auf jene Leser, welche, 

 ohne gerade ein speziell mathematisches Fachwissen zu besitzen, sich 

 für die angeregte philosophische Frage interessieren. 



Es kann eine Größe von einer andern abhängen, so daß bei Änderung 

 der zweiten die erste -sich mitändert; es heißt dann die erste Größe eine 

 Funktion der zweiten; z. B. ist der Zins eine Funktion des Kapitals. 



Eine solche Funktion kann auch von mehreren Größen abhängen, 

 z. B. ist der Zins eine Funktion vom Kapital, vom Zinsfuß und von der 

 Ausleihezeit ; ändert sich eine der drei letztgenannten Größen, so ändert 

 sich auch der Zins. Es kommt nun vor, daß eine Funktion sich um so 

 weniger ändert , je größere Werte die Größe, von der sie abhängt , an- 

 nimmt. Dann wird die Funktion einen gewissen Grenzwert nicht über- 

 schreiten , wie groß man auch die Größe wähle. Wenn z. B. im Drei- 

 ecke ABC die Seite AC immer größer und größer wird, so nimmt auch 



B 



ihr gegenüberliegender Winkel immer zu, aber diese Zunahme wird 

 immer unbedeutender, je weiter C hinausrückt. Wird AC über alle 

 Maßen groß, so nähert sich der Winkel ABC immer mehr der Größe 

 des Winkels FAB. Statt dessen sagt man kurz: für -^IC = oo wird 

 <^ ABC = ^ FAB. 



Dieses Beispiel macht unsere anfangs aufgestellte Behauptung klar: 

 daß die Mathematik über das Unendliche an sich nichts aussagt, sondern 

 nur über Größen, die von einer unendlich werdenden abhängen. Wenn 

 eine Größe z von zwei unendlich werdenden abhängt, so kann fast 



niemals der Wert von ~ bestimmt werden. Ist z. B. ^ = — , so existiert 



für unabhängig von einander ins Unendliche wachsende x und // kein 

 bestimmter Wert z. — Unter Umständen kann die Mathematik auf die 

 Frage: »wie groß ist .^r?« die Antwort erhalten: ».~ ist unendlich groß«; 

 aber diese unendliche Größe kann sie dann nicht mehr mit andern von ^ 

 unabhängigen Größen verbinden. 



Die Behauptung, daß die Gesetze der Mathematik ihre Gültigkeit 

 verlieren, wenn man sie auf das absolut Unendliche anwenden will, mag 

 manchem Mathematiker befremdlich klingen, sie ist aber sehr einfach zu 



X -4- i) 

 verifizieren. Es nähert sich z. B. der Wert von bei unendlich 



X 



wachsendem .c der Einheit ; würde man aber schlechthin x = oo setzen, 

 so wurde aus — 1 



oo 



folgen : c» + 9 = c», was unmöglich ist. Also ist das Unend- 



