A. Schmitz, Das Unendliche in Matliematik und IMiilosojjliie. ly7 



liehe dem mathematischen Gesetze : »Quotient mal Divisor = Dividend« 

 nicht unterworfen. 



Ein anderes Beispiel: 



Die Winkel BAC und DFC sind einander kongruente Figuren; 

 denn sie lassen sich so aufeinander legen, daß kein Teil des einen über 

 den andern herausragt. Diese Winkel sind auch einander gleich , jeder 

 etwa gleich a. Fassen wir aber diese Winkel als 



unendlich große Räume auf, so ist: -^ ß 



^ BAC — ^ ])FC = Fläche BAFJ) 



a — a = Fläche BAFD p^ ^ 



=00, 



womit die Unbotmäßigkeit des Unendlichen gegen 

 die mathematischen Gesetze aufs neue dargethan 

 ist. Auch das unendlich Kleine ist, als absolut Seiendes betrachtet, der 

 mathematischen Behandlung nicht zugänglich; doch möge das hierüber- 

 gangen werden, -weil es für die philosophischen Zwecke dieses Aufsatzes 

 keine Bedeutung hat. 



Hingegen ist hier die Veranlassung gegeben, gewisse neuere mathe- 

 matische Untersuchungen zu streifen, welche von einigen Mathematikern 

 selbst falsch aufgefaßt wurden und diese Wissenschaft fast in einigen 

 Mißkredit gebracht hätten. 



Die Lehre von den w-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten ist es, 

 welche in den Augen mancher Leute der Mathematik den Ruf ihrer 

 Exaktheit geschädigt hat. 



Fast alle geometrischen Eigenschaften der Körper lassen sich durch 

 rechnerische Beziehungen ausdrücken und zwar als Funktionen gewisser 

 gegebener Größen. So ist z. B. die Lage eines 

 Punktes A gegen einen zweiten vollständig be- 

 stimmt, wenn man seine Entfernung von 



1) nach rechts (oder links), Ö- 



2) nach vorwärts (oder rückwärts), 



3) nach oben (oder unten) 



kennt. Diese Eigenschaft der Dinge, in ihrer gegenseitigen Lage durch 

 drei Abmessungen bestimmt zu 'sein, heißt »Dreidimensionalität des 

 Raumes«. Wenn nun die Lage von A und gegeben ist, so sind auch 

 noch zahlreiche weitere geometrische Eigenschaften gegeben , die man 

 eventuell durch Messen finden könnte, z. B. die kürzeste Entfernung AO. 

 Alle derartigen geometrischen Eigenschaften lassen sich auch durch die 

 Werte x, y, z, welche die Lage von A gegen bestimmen, rechnerisch 

 finden, sie sind also durch algebraische Formen, Funktionen von x, ij, z\ 

 ausdrückbar. Diese Formen gewähren auch , abgesehen von ihrer geo- 

 metrischen Bedeutung, ein rein analytisches Interesse und können ver- 

 allgemeinert werden, indem man sie auf vier oder mehrere Größen aus- 

 dehnt. Die Verallgemeinerung der Form (,/; -\- U -\- ■i) wäre z. B. 

 {x -j- // -f- -i' "l" ti)- Wie im Falle der geometrischen Betrachtung durch 

 3 bestimmte Werte, x, y, z, ein einziger Punkt x\ gegeben ist, so ist 

 im Falle der Betrachtung von 4 Elementargrößen durch 4 bestimmte 



