Igg A. Schmitz, Das Unendliche in Mathematik und Philosophie. 



Werte x, y, s, u ein einziges Element Ä und eine Reihe vonvj. abhän- 

 giger Funktionenwerte gegeben , und für Ä gebraucht man symbolisch 

 auch im zweiten Falle den Namen Punkt, ohne dabei an etwas Geome- 

 trisches zu denken. Ebenso hat man weiter für die verallgemeinerten 

 algebraischen Formen die Namen beibehalten, welche den ursprünglichen 

 dreidimensionalen Formen mit Rücksicht auf ihre geometrische Bedeutung 

 zukamen^ (Krümmungsmaß, Bedingung der Orthogonalität). Die Lehre von 

 den Beziehungen zwischen ii-Größen, welche den geometrischen Beziehungen 

 zwischen den Koordinaten eines Raumpunktes nachgebildet sind, heißt: 

 »Lehre von den »-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten.« 



Die Idee, die n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten als Räume zu 

 betrachten und dadurch unserm Räume die Eigenschaft der Einzigkeit, 

 Idealität und Unendlichkeit abzusprechen, ist unmathematisch und absurd, 

 und wenn noch einige Mathematiker diese Idee festhalten , so sind sie 

 einem (in das Bereich der Philosophie gehörenden) Irrtum verfallen. 

 Wenn sie diese Idee dadurch zum Ausdrucke bringen, daß sie angeblich 

 geometrische Eigenschaften des vierdimensionalen Raumes diskutieren, daß 

 sie z. B. die Eckenanzahl vierdimensionaler regulärer Körper oder die Be- 

 dingung, unter welcher mehrere Ebenen im vierdimensionalen Raum durch 

 einen Punkt gehen, erörtern, so haben sie damit eine erkenntnistheoretisch 

 wertlose, wenn schon rein mathematisch interessante Arbeit geliefert. 



Etwas anderes ist es mit den LoBATSCHEwsKY'schen Untersuchungen. 

 Diese stellen nämlich fest, welche Eigenschaften jenen Flächen zukommen, 

 auf denen das elfte ^ euklidische Axiom nicht gilt, wohl aber die anderen 

 auch auf der Ebene gültigen Axiome. — Die wirkliche Existenz solcher 

 Flächen hat Beltrami nachgewiesen. — Der erkenntnistheoretische Wert 

 der LoBATSCHEwsKY'schen Untersuchungen liegt also in einer Verallge- 

 meinerung der euklidischen Lehren, wie etwa die Algebra manche Probleme 

 in allgemeinerer Form zu lösen vermag als die Arithmetik. 



Wir haben also gesehen, daß das Unendliche an sich kein Gegen- 

 stand mathematischer Forschung ist und daß die Sicherheit der unfehl- 

 barsten Wissenschaft am Felsen des Unendlichen scheitert. Diese That- 

 sache muß uns mit erneutem Mißtrauen gegen alle philosophischen Aus- 

 sagen über das Unendliche erfüllen. Und wenn die Philosophie zu den 

 Mitteln der Mathematik greift, so wird zwar unser Interesse wachgerufen, 

 wie sich die exakteste und die ungebundenste Wissenschaft miteinander 

 vertragen, aber die Hoffnung, daß diese Verbindung eine höhere Wahr- 

 heit erzeuge, ist sehr gering. 



Wenn der Verfasser dieser Abhandlung im folgenden die höchsten 

 Fragen der Metaphysik streifend zu dem Urteile kommt, daß das Dasein 

 eines persönlichen Gottes, wie es z. B. vom Christentume gelehrt wird, 



' Auch im gewöhnlichen Leben gebraucht man geometrische Namen, z. B. 

 „Punkt" im übertragenen Sinne, und schon längst wurden in der Mathematik ima- 

 ginäre Ausdrücke als „Punkte, Linien" bezeichnet, ohne daß man damit wirklich 

 existierende Punkte oder Linien meinte. 



'•* Dieses lautet: Zwei Gerade in einer Ebene, welclie von einer dritten so 

 geschnitten werden, daß die Summe der Gegenwinkel von 2 M verschieden ist, 

 schneiden sich. 



