4 Hj, Mellin. 



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 (2) <' . • . .7 • "^' P (:, . • • • . ^,) , 



MO die VI \må n positive oder negative ganse Zahlen, während P eine Con- 

 stante oder, periodische Function von z^,...,Sj, bezeichnet. Da die m und n 

 ganze Zahlen sind, so ergieht sich mit Benutzung der Functionaleigenschaft 

 von r{s), dass dieser Ausdruck das folgende System von p simultanen linea- 

 ren Ditïerenzengleichungen erster Ordnung befriedigt: 



F(£', + 1 , -g. • • • , »^p) = 7?i (^1 , • • • , Sj) F(,.-i , • • ■ , ,îp) , 

 2^(r, , ,c-2. • • • , ,•„ + 1) = /?,. (r, . ■ • • , ,r„) F{z, , • • • , .:,,) , 



(3) 



WO Bi, ... , Bj, gewisse in ,îi, ■ .. , Sj, rationale Functionen bedeuten. 



Indem wir nunmehr an Stelle der Ausdrücke (2) den Inbegi-iff aller Func- 

 tionen ins Auge fassen, welche überhaupt ein System voii Gleichungen der soe- 

 ben angegebenen Art l)efriedigen, verzichten wir doch bei dieser flelegenheit 

 — und zwar wegen des nachstehenden Satzes — auf die Erörterung der Frage, 

 ob auch umgekehrt jede Function, die ein solches System (3) befriedigt, in der 

 Form (2) darstellbar sei. 



Bezeichnet man nämlich die Parameter q und 6 in irgend einer Eeihen- 

 folge durch Zi,s.>,---, so lässt sich zeigen, dass dir Beihe (1) hei willlcürUchcn 

 rarametern und n>2 durch keine endliche Summe ausgedriicht werden hann, 

 deren Glieder Systeme von Fnnctionalgleichungen der Form (3) befriedigen, 

 wo die B in Si. ■■■ , z,, rationale Functionen sind. 



Daraus folgt dann als Corollarium, dass sich die betreffende Reihe bei 

 willh'hiichen Parametern und w J> 2 durch Iceine endliche Summe ausdrücken 

 lässt, deren Glieder Gammafunctionen der Form (2) sind. 



Der Kürze halber wollen wir jede Function, die eine Functionalgleichung 

 der Form 



befriedigt, eine Gammafunction in Bezug auf s nennen. Jede solche Function 

 lässt sich offenbar auf die Form bringen 



