über hyperijeoiiicfrische Heiken /wliercr Ordnungen. 5 



wo P eine Function mit der Periode Eins bezeichnet; und umgekehrt genügt 

 aucli jede Function dieser Art der obigen Functionalgleichung. — Insbesondere 

 sind alle rationalen Functionen von î' in diesem Sinne als specielle Gamnia- 

 functionen zu betrachten. 



Wir gehen zum Beweise des oben ausgesprochenen Satzes über. 



Ersetzt man in einer Function F(zi, ..., z'^), die ein System der Form (3) 

 befriedigt, die Grössen ^i,...,.=,, durch ^\ + z, ... , ^j^ + £■, so entsteht ein Aus- 

 druck 



weicher als Function von ^ einer Gleichung dei- Form 



genügt, wo Ä (-j) eine in s rationale Function ist, weil Ili,..,Bj, in^i,....^^, 

 rational vorausgesetzt wiu'den. Durch die genannten Substitutionen geht also 

 F in eine Gammafunction von < über. Die Richtigkeit dieser Behauptung er- 

 giebt sich ohne Mühe mit Benutzung des Systems (3). Liesse sich also die 

 Reihe (1) als Summe von Functionen ausdrücken, deren jede ein System von 

 Gleichungen der Form (3) befriedigt, wo Fi^,...,!}^, in ^i ,••-, ^^, rationale 

 Functionen sind, so würde ebenfalls die aus (1) durch die nämlichen Substitu- 

 tionen entstandene Reihe 



00 



^^^ ^^-^ ^ri, + a, + v).-.riz + a,. + v) 



in der Form einer Summe darstellbar sein, deren Glieder GammaFunctionen in 

 Bezug auf £ wären. Es handelt sich also schhesslich darum, zu zeigen, dass 

 keine solche Darstellung der letzteren Reihe bei unbestimmten Parametern statt- 

 tinden kann. 



Die Reihe (4) besitzt die Eigenschaft 



Hieraus folgt für y^ die Ditîerenzengleicliung zweiter Ordnung 



(5) '/■ {2 + 2) - [l + il- U)] (f (.:+!) + II (I) (f U) = ü , 



TU^- U + gl) • • • (^ + Qn) 



