6 Hj. Mellin. 



Es fragt sich nun, ob die Gleichung (5) durch eine Gammai'unction oder eine 

 Summe von solclien Functionen befriedigt werden kann. 

 Es sei 



(6) F(2) = ^FA^) 



wo die l\, die Gleichungen befriedigen 



(7) F,,(2-{- l) = B^{^)FA^. r= 1,2,- •-,;». 



Man kann unbeschadet der Allgemeinheit annehmen, dass die F^ linear unab- 

 hängige Gammafunctionen sind, d. h. dass zwischen ihnen keine lineare homo- 

 gene Gleichung mit rationalen Coefticienten stattfindet, weil ja im entgegenge- 

 setzten Falle die Anzahl der Glieder von (6) von vornehei'ein auf eine klei- 

 nere reducirt werden könnte. 



Vorausgesetzt nun, die Function F (s) genüge der Gleichung (5), so folgt 

 mit Beimtzung der Gleichungen (7) zwischen den F„ (/) zunächst eine lineare 

 Beziehung, deren Coefticienten aber alle gleich der Null sein müssen, weil die 

 Fv hnear unabhängig sind. Auf diese Weise ergiebt sich zwischen B und M^ 

 die Beziehung 



R, (z) 7.', (^ + 1) - [1 + 2? (.)] B, (.) + R (s) = o , 

 d. h. 



Durch diese Beziehung wird aber die Willkürlichkeit der Grössen y und o' 



beschränkt. Stellt man sich nämlich Ii„ in der Form iî„ (s-) = '-^ vor, unter 



^ i/ (2) ' 

 / und (/ ganze i'ationale Functionen verstehend, so hat man 



(8) ,,(,)^/>±iiziAi^+i). n^) . 



f{z) - ,J (Z) CJ (^ + 1) 



Unter den linearen Factoren des Zählers von B {£) müssen sich auf Gi'und 

 dieser Beziehung einige linden, welche durch die Substitution (0,^ + 1) aus 

 entsprechenden Factoi'en des Nenners entstehen, d. h. einige unter den Para- 

 metern Q sind von den Parametern abhängig. Hiermit ist aber erwiesen, 

 dass die Keihe (4) bei willkürlichen Parametern weder durch eine einzige 

 Gammafunction, noch durch eine Summe von solchen dargestellt werden kann. 

 Es giebt indes einen Fall, in welchem die Grössen q und ö durch die 

 Beziehung (8) nicht beschränkt werden. Dieser Fall ist der, wo die Gradzahl 

 des Zählers und Nenners von B (<) gleich Eins ist. Alsdann können f und (j 



