8 Hj. Mellin. 



entwickelt werden, wo die x von z unabhängige Grössen sind; insbesondere liat 

 K den Wertli 



*« = <?i H + Q., ~ Gl - • ■ • - rr„ . 



Für grosse Werthe « lässt sicli also der Ausdruck R (>) 1 1 + - 1 durch eine 

 Reihe der Form 



.,.,(. +i)-=4) = . + 1+1+ 



darstellen. Ersetzt man hier s nach einander durch ^ + i bis * + r - i , so 

 folgt durch Multiplication der so entstehenden Gleichungen 



■^ J V' / V '^ ^J \z + V — l 



Ersetzt man weiter s durch ^ — >', so ergiebt sich 



(13) E (. ^ 1 ) 11 (,: -2)...E(,^ V) = (-4^,) V(^^- ) • ■ • /-(^. l 



Da 



CO , CO 



offenl)ar convergente Producte sind, so zeigen die beiden letzten Formeln in 

 Verbindung mit (10) und (11), dass die Convergenz der Reihe t/» ausschliess- 

 lich von der Grösse n abhängt. Ist der reelle Theil von sc algebraisch kleiner 

 als — 1, so ist xp eine unbedingt convergente Reihe, die zugleich in jedem 

 endlichen Bereiche von s , welcher keine Unendlichkeitsstellen der Glieder von 

 ^1 enthält, gieichmässig convergirt. 



Im Nachfolgenden wollen wir voraussetzen, dass % diese Bedingung für 

 die unbedingte und gleichmässige Convergenz der Reihe (/' erfüllt. Alsdann 

 stellt !/' eine analytische Function mit der Periode 1 dar. Wir werden zeigen, 

 dass sie sich durch trigonometrische Functionen ausdrücken lässt. 



Die Function tp , welche offenbar in jedem endlichen Bereiche den Cha- 

 rakter einer rationalen Function hat, kann nur an den Stellen 



/"' = 1 , 2 , ■ • • , n 



unendlich gross werden. Der Einfachheit halber setzen wir voraus, dass die 

 Differenz irgend zweier der G-rössen q keine ganze Zahl sei, in welchem Falle 

 V' nur Unendliclikeitsstellen erster Ordnung besitzt. Alsdann sieht man ohne 



