über hyper geometrische Heiken höherer Ordnunc/en. 9 



Mühe ein, wenn man zngleirh die Periodicität von V beachtet, dass i/' bei 

 passender Bestimmung von A^,..., A„ in der Form dargestellt werden kann 



(14) 1/- {z) = A, cotg sr (,r + ?,) H h A„ cotg x {■ + ç„) + G (■) , 



wo G (z) den Charakter einer ganzen Function besitzt. Es lässt sich zeigen, 

 dass G identisch verschwinden muss. 



Weil G eine ganze Function mit der Periode 1 ist, so muss sie sich, 

 einem l)ekannten Satze gemäss, auf eine Constante leducii'en, wenn sie in ir- 

 gend einem zur imaginären Axe parallelen Streifen von der Breite Eins dem 

 absolute Betrage nach nicht ohne Ende wachsen kaini. Setzt man z = ^ + iÇ', 

 so ist 



lim cotg sr (^ 4- ç) = 4I 2 . 



Es braucht also nui' gezeigt zu werden, dass 1 1/' {^) | bei wachsendem [ ^' \ nicht 

 ohne Ende wächst. Beschränkt man die Veränderliche s' = ^+i^' auf irgend 

 eine durch die Bedingung '^>ct detlnirte Halbe])ene, unter a eine beliebige 

 reelle Zahl verstanden, so hat man die als bekant anzusehende Formel 



wo f eine mit wachsendem |£''| gegen die Null abnehmende Grösse bedeutet'). 

 Hieraus fokt 



'O' 



wo '/. = Qi + — h !?,. - (»i — ••■ — ö„ und £ die frühere Bedeutung hat. Weil 

 der reelle Theil von 7. < — 1 vorausgesetzt wird, so zeigt diese Formel, dass 

 F (/) in jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen mit wachsendem [ y' j 

 gegen die Null convergirt. Stellt man diesen Umstand mit den Formeln (10), 

 (11), (12), (13) zusammen, so folgt, dass V ebenfalls die Eigenschaft 

 lim 1/' (*) = o besitzt. Hieraus folgt, wie schon gesagt wurde, dass G eine 



Constante ist. Diese Constante muss Null sein, weil sich sonst aus (14) für 

 ^' = + Go und '^' = — cc zwei entgegengesetzte Werthe für G ergeben würden. 

 Man hat also die Formel 



1' = — 00 



') C. f. meine Arl)oit Zur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung, Acta 

 Mathematioa, B. 15. 



