66 Histoire de L'AcADfMiE Royale 



L'aire ou refpace curviligne de la compagne de la cy- 

 , cloïde eft renfermé entre le diamètre du demi-cercle géné- 

 rateur, la dernière & plus grande ordonnée de cette courbe 

 & fa circonfe'rence. L'aire du demi-cercle géne'rateureft com- 

 prife dans cet efpace. Il s'agit d'en quarrer la moitié détermi- 

 née par l'ordonnée de la courbe qui part du centre du demi- 

 cercle générateur , cette moitié étant prife du côté de l'origine 

 du demi cercle & de la courbe. M. Pitoc croit que cette 

 quadrature n'a point encore été trouvée , quoiqu'elle foit fort 

 fimple. 



En effet, dès qu'on prend à l'ordinaire la différentielle de 

 -Fefpace de la courbe , qui eft fon ordonnée indéterminée mul- 

 tipliée par une des portions infiniment petites & égales de fon- 

 •axe , & qu'on intègre cette quantité félon les règles , on a une 

 expreirion indéterminée de l'efpace , où il entre fous différens 

 fîgnes de plus & de moins différens produits d'abfaiffes ou- 

 •d'ordonnées , & du rayon du demi-cercle qui eft la feule gran- 

 •deur confiante ôc connue. Or la courbe n'efl point quarrable ,., 

 ■tant qu'il fubfifte dans cette expreffion quelqu'une de fes or- 

 données , parce qu'elles font toutes égales à des arcs circu- 

 laires, dont on ne connoît pas la grandetir. Mais fi dans cette 

 même expreffion générale & indéterminée, on fuppofe Tab- 

 fciffe égale au rayon du demi-cercle générateur, les grandeurs 

 <]ui comprenoient des ordonnées difparoiffent , parce qu'elles 

 Ibnt alors affeclées de fignes contraires , '& il ne refte que le 

 quarré du rayon du demi-cercle , ce qui fait voir que l'efpace 

 curviligne de la moitié de la courbe , telle que nous venons de 

 la pofer , efl égal à ce quarte. 



. . M. Pitot apporte encore une autre preuve tirée de ce que 

 cette courbe efl la compagne de la cycloïde. Une demi-cy- 

 cloïde étant décrite avec fon demi-cercle générateur, fi l'on 

 fait un parallélogramme rectangle, dont un des côtés foit le 

 diamètre du demi-cercle, & l'autre la bafe, ou dernière or- 

 donnée de la cycloïde égale à la circonférence de ce demi- 

 cercle, il efl très-facile de voir que cet efpace rectiligne efl 

 quadruple du demi- cercle générateur. Dans cet efpace total 



