io8 Mémoires DE L*AcADéMiE Royale 

 Fig. 2. 2°- P^"^ '^s propriétés de la cycloïde ou roulette fimpîe j 

 comme AGF , toutes les lignes MN iom égales aux arcs de 

 cercle correfpondanty^/V/; d'où il fuit que refpace ADG eft 

 égal à celui de la courbe ABC ( Tig, i.) 



Entre plufieurs manières de démontrer que refpace ADG f 

 formé par le quart de cercle AD , la droite DG , ôc la portion 

 AG de la cycloïde , eft égal au quatre du rayon , voici la plus 

 {impie que nous ayons trouvé. 



Ayant mené A'O parallèle à AP , on tirera les parallèles 

 infiniment proche pn , no : mais à caufe de la cycloïde , Mn 

 eft parallèle à A M, ainfi les triangles A^^ m , MPA, font 

 femblables , d'où l'on tire A/^ oa Oo .q n ou Pp:: M P. PA 

 ou NO &c Oo X NO = MP>c Pp. L'on voit par-là que l'élé- 

 ment No de l'efpace AGH étant égal à l'élément Pm du 

 quart de cercle AD, cet efpace eft égsl au quart de cercle. 

 Maintenant fi l'on fait C^ ou CD = a, l'arc A D = DG 

 = z , on aura la fuperficie du redangle C H^=aa-i~az, du- 

 quel il faut retrancher l'efpace AG H èi-lc quart de cercle 

 ACD qui lui eft égal : on ôtera donc le demi-cercle A DE 

 = «z du redangle CH = aa ■+• az, pour avoir l'efpace 

 A DG = aa. Donc , &c. 

 p. 3'^. Si on coupe un cylindre I K par un plan incliné à fon 



axe de -j j degrés , on aura la portion cylindrique ou onglet 

 AEDC, dont la hauteur CA eft égale au rayon C S, Or il eft 

 évident que la fuperficie de la moitié A DC de l'onglet, eft 

 égale à la fomme de tous les arcs A M du quart de cercle 

 A AIR i c'eft-à-dire,que les arcs P^ qui compofentla deml- 

 fuperficie A DC de l'onglet, font égaux aux arcs AM, & 

 par conféquent aux ordonnées PN àc la courbe {Fig. i.) 

 ainfi la fuperficie de l'efpace A CE de la courbe eft égale à 

 celle delà moitié A DCàn l'onglet. Mais les Géomètres fça- 

 vent préfentement que fi l'on prend un onglet KEDC, dont 

 ta hauteur C A. foit égale à la circonférence du cercle CELD y 

 ffa fuperficie fera égale à celle d'une fphere infcrite dans lis 

 cylindre. Ainfi iioramant toujours le izyonCS=CA (a)^ 

 la circonférence C£ i i-) ou CK {c), on aura 2 «r pour U 



