s6 HisToire DE L'ACADÉMIE ROYALE 
qui font autant de rangentes particulieres de différents arcs 
moindres que le donné. Ainfi on peut transformer la fuite 
en une autre, dont l'expreflion ne comprenne que deux 
grandeurs, le rayon & la rangente de l'arc, mais toûjours 
différemment modifiées dans les différents termes, foit par 
des élévations à des puiffances , foit par des coéffcients. 
M.de Lagny a fait cette transformation , qui lui donne une 
feconde fuite générale, dont la fomme feroit aufli la valeur 
exaËte d’un arc quelconque moindre que 90 degrés, & toù- 
jours exprimé par le rayon & la rangente. Les rermes de 
cette fuire ont toûjours alternativement les fignes plus &c 
moins, 
Le rayon ne peut être qu'une grandeur conftante pour 
tous les différents arcs : mais la tangente eft roüjours va- 
riable. Si l'on conçoit un arc infiniment petit, fa ‘tangente 
qui lui fera alors égale , fera infiniment petite par rapport au 
rayon, & fi l'arc eft de 90 degrés, fa tangente fera infi- 
niment grande par rapport au rayon , & c'eft par cette rai- 
fon-là même qu'il faut que l’arc donné foit moindre que 90 
degrés ; une tangente infinie ne feroit d'aucune ufage. Le 
rapport de la tangente au rayon, qui commence par être 
infiniment petit, va toùjours croiffant dans le fini à mefure 
que l'arc fini eft plus grand , & fe termine enfin par être 
infini à 90 degrés. Si l’on a ce rapport fini en nombres, 
on n'a qu'à fubftituer ces nombres aux grandeurs indéter- 
minées qui dans la fuite infinie de M. de Lagny font le 
rayon & la tangente , & la fuite exprime aufli-tôt en par- 
ties du rayon ou de la tangente un arc déterminé que l'on 
cherchoit. 
. Par exemple , fi le rayon & la tangente font deux 
grandeurs égales, & toutes deux 1 , ce qui arrive quand 
l'arc eft de 45 degrés, on voit que cet arc eft égal au 
rayon ou à la tangente moins +, plus ? moins +, & toû- 
jours ainfi de fuite à l'infini. Le numérateur des fraétions 
étant toüjours 1, & les dénominateurs les impairs confecu- 
tifs, & les fignes plus & moins toûjours alternativement 
mêlése 
