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 excède d'une unité le double du quatre de 2. Le rapport de 

 1 à la racine de 6 , féconde racine des mi-partis , ell: tel que 

 le quarré de la plus petite de ces grandeurs efl: contenu fix 

 fois dans le quarré de la plus grande , & le quarré de 2 eft 

 contenu 6 fois dans le quarré de y fécond impair, fi ce n'eft 

 que 2 j excède 24. d'une unité. Le rapport de i à la racine de 

 1 2 eft exprimé de la même manière par celui de 2 à 7 , &c. 

 & il eft très-aifé de démontrer cette propriété de ces fuites 

 de nombres, 



Les rapports fuccefTifs de 2 à tous les impairs , qui expri- 

 ment ceux de i aux racines des mi-partis , font extrêmement 

 approchés , puifqu'il n'y a dans les quarrés qu'une différence 

 ■d'une unité , qui en emporte une bien moindre dans les raci- 

 nes dont il s'agit, & ces rapports fonttrès-réguliers; puifqu'on 

 atoûjours la jiiême différence , ôc toujours du même coté. 



Les nombres mi-partis ou leurs racines font dans la fuite 

 naturelle des nombres, des points fixesparlefqueis on peut 

 ■juger des rapports de 1 -aux nombres irrationnels intermé- 

 diaires. Ainii puifque le rapport de i à la racine de 2 , eft 

 celui de 2 à 3 , & que celui de i à la racine de 6 eft ce- 

 lui de 2h. ^ , il faut -que le rapport de i à la racine de y foit 

 compris entre celui de 2 à 3 , & celui de 2 à j. Il faut que 

 le rapport de i à la racine de i o foit compris entre celui de 

 n à y , & celui de 2 à 7 , & ainfi du refte. 



Mais il y -a plus , &on Tapperçoit déjà par ces exemples. 

 Entre deux nombres mi-partis il y a toiijour-s néceflaire- 

 ment un nombre quarré ; entre 2 & 6 eu j^ , entre 6 ÔC 

 :i2 eft p , &c. Le rapport ravionel de i à la racine de ces 

 quarrés eft néceffairementle même que celui de 2 au nom- 

 bre moyen entre deux impairs. Le rapport de 1 à la racine 

 de 4 eft le même que celui de 2 à 4 , qui .eft le nombre 

 moyen entre 3 & j. Le rapport de 1 à la racine de p eft 

 le même que celui de 2 à 6 , nombre moyen entre j & 7 , 

 & toujours ainfi. Par conféquent le rapport de i à la ra- 

 cine de j eft compris entre celui de 2 à 4, & celui de 2 

 à'S^ ^^ rapport de i à la racine de 10 eft compris entre 



celui 



