'lo Mémoires de l'Académie Royale 



S V R LES FIGURES 



INSCRITES ET Cl RC NSCRIT ES 



AU CERCLE, 



Par M. S A u R I N. 



. •'"^ 'Est une propriété de ces figures , très-connue des 

 37i!. \^-i géomètres, que l'aire dune figure infcrite eft moyenne 

 proportionnelle géométrique entre l'aire de l'infcrite & cel- 

 le de la circonfcrite qui ont la moitié moins de côtés. 

 Ainfi, par exemple , l'exagone infcrit eft moyen proportion- 

 nel géométrique entre le triangle équilatéral infcrit & le 

 triangle équilatéral circonfcrit ; l'odogone entre le quarré 

 infcrit & le circonfcrit ; le décagone entre le pentagone 

 infcrit & le circonfcrit , &c. Mais je he fçai fi l'on a remar- 

 qué de même dans ces figures une autre propriété qui a du 

 rapport à celle-là , & qui ne mérite pas moins d'être re- 

 marquée ; c'eft que l'aire de toute figure régulière circonf- 

 crite au cercle , eft moyenne proportionnelle harmonique 

 entre l'aire de la même figure infcrite & celle de la circon- 

 fcrite qui a la moitié moins de côtés ; ainfi l'exagone cir- 

 confcrit eft moyen proportionnel harmonique entre l'exa- 

 gone infcrit & le triangle équilatéral circonfcrit ; l'octogo- 

 ne circonfcrit entre l'oiSlogone infcrit & le quarré circon- 

 fcrit ; le décagone circonfcrit entre le dodécagone infcrit ÔC 

 le pentagone circonfcrit , ôcc. 



. Voici comme je démontre cette propriété , qui s'eft pré- 

 fentée à moi par hafard ,en examinant par ordre de l'Aca- 

 démie une prétendue quadrature du cercle. 



Soit mené dans le cercle BEG le côté fi£ d'une figure ré- 

 gulière le rayon CE ; la tangente Ey4 qui rencontre en /i, 

 Cj3 prolongé ôcla tangente £F, rencontrant en F la tangen- 

 te £.y^, il eft évident que BEC. éunt une partie de la fi-- 



