5(5 Mémoires DE l'Académie Royale JI 



dans les irrationnaux les plus fimples^ comme V2,V^ , &c. fj^ 



il y a une oblcurité elTentielle , ou , pour parler pics exa£lc- 

 mcnt , une ininteiligibilité néceffairement attachiie à cette 

 efpece d'expreflîon. 



Le Traité d^Archimede fur la mefure du cercle , le dixié- ; 



me Livre des Elémens d Euclide , & prefque tout l'ouvrage 

 de Diophante fourniflent des preuves évidentes de la ma- 

 nière de penfer des Anciens fur ce fujet. 



Le premier , au lieu d"opérer fur ]/^^ , s'eft fervi de deux 

 valeurs approchées -fjj & ^yr--} dont la première donne la 

 valeur de ï^j par défaut, & l'autre par excès, l'une & l'autre 

 à très peu-près , car le quarré de ^ eft 'i~~ = 3 — tt7^ J 

 & k quarré de -7^= '^llJnr = î H- .o»'..c. - . 



Quels détours n'a pas pris le fécond dans fon dixième 

 Livre, pour exprimer les rapports des grandeurs inccmmen- 

 furables ? 11 finit par celui du côté du quarré à fa diagonale; 

 rapport fameux chez les Anciens , & cité comme tel par 

 de grands Philofophes. 



Le troifieme donnant la règle pour réfoudre les équa- 

 tions du fécond degré , ajoute comme condition nccelTaire 

 & efientielle , ce qui exclud les irrationnaux, & en effet 

 tout le mérite de la méthode de Diophante confiite à éviter 

 par certaines hypothefes ingénieufes les nombres irration- 

 naux qui fe préfentent les premiers , ôcpour ainfi dire d'eux- 

 mêmes & naturellement dans les queftions numériques in- 

 déterminées. 



Ce n'eft que depuis environ deux fiecles qu'on a inventé 

 les exprelfions des nombres irrationI^aux , avec la méthode 

 d'opérer, qu'on a d'abord appellée Valgoiitlime, ôc qu'on au- 

 roit dû appeller la looijllque de cette efpece de nombres. 

 Ces cxprellions & cette logiflique font utiles & même né- 

 ceïTaires pour abréger le calcul & les démonftrations : mais , 

 encore une fois,lorfqu'il s'agit d'exprimer les rapports de 

 deux ou de plufieurs grandeurs, il faut, fi l'on veut fe ren- 

 dre intelligible, avoir recours aux nombres ration naux, ôc 

 jtvjmc aux nombres entiers. Par exemple, le rappor t de l'aire 



du 



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