6o Mémoires de l'AcadejvIie Royale 

 pour le nombre des côtés des polygones réguliers, cette pro- 

 greiïion géométrique continue 3 , (î, 12, 24,4.8 , 5)5, à cel- 

 le-ci qui paroît bien plus fimple 4,8, 1 5 , j2 , 64 , 1 28. Je 

 réponds que le rapport parfait d^égalité entre le côté de 

 Ihexagone infcrit & le rayon eft apparemment ce qui l'a dé- 

 terminée au choix de la première progredion. Mais le côté 

 du triangle équilatéral infcrit au cercle étant au rayon com- 

 me v/3 à 1 , Archimede ne pouvoir exprimer ce rapport 

 qu'en fubdituant , comme il a fait, deux fraâions rationnel- 

 les qui exprimaffent cette valeur v''3 à très peu près & en très-, 

 petits nombres , lune par défaut , &: l'autre par excès , afin 



d'avoir des limites fuffifantes. Il choifit & . 



15 3 780 



Ce choix eft fait avec beaucoup d'art , & aucun des Com- 

 mentateurs , que je fçache , ne.s'eft apperçû de la méthode 

 qui peut l'y avoir conduit. , 



Il eft pourtant, ce me femble, plus important, plus utile 

 & plus fatisfaifant pour le Leéteur, de trouver le chemin 

 qu'ont fuivi les grands Géomètres pour parvenir à leurs 

 nouvelles découvertes,que de fe laifTer fimplement convainr 

 cre par la démonftration. On devient en quelque manière 

 foi-même inventeur ; l'on apprend du moins à le devenir. 



Voici donc les difFérens pas qu' Archimede fit apparem-r 

 inent dans cette recherche. 



1°. Il eft^ évident que s'il étoit poffible d'exprimer exac- 

 tement la valeur de v'3 , ce feroit par une fradion dont li 

 valeur feroit plus grande que 1 , & plus petite que 2 , &, 

 dont le quatre du numérateur contiendroit exadement trois 

 fois le quarré du dénominateur : mais cela étant abfolument 

 impofrible , Archimede ne pouvoit rien faire de mieux que, 

 de trouver méthodiquement ôc régulièrement la fuite de 

 chaijue deux nombres quarrés ; tels cjue le /juané du plus grand 

 ne jurpajjât ou ne fût furpajjé par le triple du quarré du plus 

 petit que le moins qu'il foit pojfible. 



Lorfque cet excès & ce défaut ne font chacun que d'une, 

 unité, il eft évident que c'eft la plus petite différence pofTi- 



